Una función es continua si y solo si preserva las secuencias convergentes; es decir, es una secuencia convergente siempre que sea convergente. El concepto de continuidad hacia adelante se define en el sentido de que una función es continua hacia adelante si preserva las secuencias -cuasi-Cauchy; es decir, es una secuencia -cuasi-Cauchy siempre que sea -cuasi-Cauchy. Una secuencia de puntos en , el conjunto de los números reales, es -cuasi-Cauchy si , donde , y es una secuencia lacunar, es decir, una secuencia creciente de enteros positivos tal que y . También se define un nuevo tipo de compacidad, a saber, la compacidad hacia adelante, y se obtienen algunos resultados nuevos relacionados con este tipo de compacidad.
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