Resumen

En este artículo se estudian propiedades generales de los anillos totales de fracciones y los anillos de Hermite. Por otra parte se encuentra una relación entre estos anillos y las K−álgebras finitas. Una K−álgebra finita es una álgebra conmutativa con unidad de dimensión finita como espacio vectorial sobre un cuerpo K. Más exactamente, se prueba que las K−álgebras finitas son anillos totales de fracciones y anillos de Hermite. Además, se muestra que el producto directo de cuerpos es también ejemplo de anillo total de fracciones y anillo de Hermite.

1. INTRODUCCIÓN

La construcción de los anillos de fracciones es similar a la de los números racionales a partir de los números enteros, desde el punto de vista del álgebra conmutativa esta construcción tiene mucha importancia porque relaciona dos áreas de la matemática, el álgebra y la geometría.

En 1926, H. Grell, un alumno de E. Noether, definió el anillo de fracciones de un dominio entero; su extensión a anillos noetherianos se dio en 1944 por Chevalley y en 1948, Uzkov la definió en el caso general [4]. En adelante, se entiende por anillo a un anillo conmutativo con unidad. Sean R un anillo y S un subconjunto multiplicativo de R, es decir, 1 ∈ S y si s, t ∈ S entonces st ∈ S. Se define en R x S la relación de equivalencia (f, g) ~ (u, v) ⇔ (fv - gu)s = 0 para algún s ∈ S. En el conjunto cociente RS: = (R x S)/ ~, se denota a la clase de equivalencia de (f, g) como f g y se definen las operaciones suma y producto así:

​$\frac{f}{g}+\frac{u}{v}=\frac{fv+gu}{gv}y\frac{f}{g}\frac{u}{v}=\frac{fu}{gv}$

Estas operaciones están bien definidas y hacen de RS un anillo conmutativo con unidad, donde el cero es $\frac{0}{s}$ , para s ∈ S y la unidad es s, para s ∈ S. Más aún, se tiene un homomorfismo canónico de anillos φ: R - RS dado por φ (f):= $\frac{f}{1}$ que en general no es inyectivo. El anillo RS se llama anillo de fracciones o localización de R por S. La construcción anterior generaliza la construcción del cuerpo de los números racionales ℚ a partir del dominio de los números enteros ℤ, donde S = ℤ - 0. En general, si R es un dominio entero y S = R - 0, entonces S es un subconjunto multiplicativo y RS: = K(R) es el cuerpo de fracciones de R. En este caso, el morfismo canónico φ : R - K(R) es inyectivo [1,3,5,14]. Si p es un ideal primo de R, entonces S = R - 𝖕 es un subconjunto multiplicativo y en este caso se usa la notación RS = R𝖕. Si S₀ es el subconjunto de los no divisores de cero de un anillo R, entonces S₀ es un subconjunto multiplicativo y el anillo S₀ ^-1 R := R_S0 es llamado anillo total de fracciones de R.

La relación del anillo total de fracciones con otros anillos es un tema de investigación en álgebra conmutativa [2,10].

• Materias:Análisis Matemático Álgebra
• Subjects:Mathematical Analysis Algebra
• Palabras claves:Localización; Producto directo de anillos; Anillo de Hermite y K−álgebra finita
• Keywords:Localization; Direct product of rings; Hermite ring and finite dimensional K−algebra