Resumen

Desde la publicación original de Abel en 1827, su notable teorema sobre la constructibilidad de la división de la lemniscata se ha demostrado con ayuda de la teoría de las funciones elípticas. La prueba dada por Rosen en 1981 se considera, hoy por hoy, como definitiva. En ella se utiliza, además, la moderna e intrincada Class Field Theory. Aquí se presenta una demostración nueva, corta y simple del teorema de Abel para la lemniscata junto con su recíproco. Las únicas herramientas son las propiedades aditivas de las funciones lemniscáticas de Gauss y algunos elementos de teoría de Galois.

1 INTRODUCCIÓN

En 1801, Gauss [1, sección 7] demostró su célebre teorema sobre la construcción de los polígonos regulares utilizando las funciones trigonométricas o circulares. También anunció que la teoría se aplica a una clase más amplia de funciones trascendentales, incluida la longitud de arco lemniscática. Algunos años más tarde, Abel [2, pp. 361-362] demostró con claridad su famoso teorema. Más recientemente, Rosen [3, p. 388] ha afirmado ser el primero en hacer aparecer en letra de molde la inversa del teorema de Abel. En lo que sigue, demostramos comprenhensivamente el teorema y su inverso a partir de hechos muy elementales. Nuestra prueba mejora sustancialmente la técnica empleada por Hernández y Palacio [4, capítulo 4].

Teorema 1.1. La lemniscata puede dividirse en n arcos iguales mediante un compás y una regla no marcada si y sólo si n = 2^kp₁p₂ - - - pt, donde los p´_is son primos distintos de Fermat.

En la sección 2 definimos la lemniscata, discutimos su longitud de arco y refundimos las funciones lemniscáticas para adaptarlas al trabajo posterior. En la sección 3 damos nuestra prueba de la parte "si" del teorema 1.1 examinando el grupo de Galois de una extensión adecuada de Q(i). La sección 4 está dedicada a la parte "sólo si" del teorema. Al final sacamos algunas conclusiones sobre la posibilidad de generalizar el procedimiento a toda una clase de curvas que comprenden el círculo y la lemniscata.

2 FUNCIONES LEMNISCÁTICAS DE GAUSS

Aquí, la lemniscata es el lugar L de los puntos (x, y) en el plano que satisface la ecuación (x² + y²)² = x² - y². En coordenadas polares (r, θ), la ecuación se convierte en r² = cos 2θ y su longitud de arco viene dada por la función

​$arcsl : [−1, 1] → R, r 7→ displaystyleint_{0}^r frac{dρ}{sqrt{1 − ρ^4}}.$

El seno lemniscático sl(x) es la función impar que resulta de extender el arcol^-1 a la recta real de forma que sea periódica con periodo ​​$2varpi = 4 extstyleint_{0}^1 dρ/ sqrt{1 − ξ^4}.$​​

• Materias:Teoría Matemática Geometría Análisis Matemático
• Subjects:Mathematical Theory Geometry Mathematical Analysis
• Palabras claves:Teorema de Abel sobre la lemniscata; Funciones lemniscáticas de Gauss; Construcciones geométricas
• Keywords:Abel’s theorem on the lemniscate; Gauss lemniscatic functions; Geometric constructions