Resumen

En este artículo se analiza el comportamiento local y global de un sistema dinámico suave a trozos en dos variables, estudiando el flujo de dos sistemas dinámicos lineales no homogéneos que conmutan con las fronteras de una banda de histéresis. Analíticamente se determinan las soluciones de equilibrio y los dominios paramétricos que garantizan la existencia de órbitas periódicas entre la banda. Se realizan simulaciones numéricas para obtener los retratos de fases y los dominios de atracción con diferentes valores de los parámetros. Los resultados muestran la coexistencia de múltiples estados estacionarios de diferente tipo para determinados valores de los parámetros.

1 INTRODUCCIÓN

La histéresis es un fenómeno que se presenta en cierto tipo de sistemas cuya salida depende tanto del estado actual de su entrada como el de sus estados pasados. Esto permite realizar un registro de la salida cuando la entrada aumenta o disminuye alternadamente generando una órbita periódica de la salida conocida como Ciclo de Histéresis¹.

Debido a su naturaleza no lineal y no suave, la histéresis ha sido estudiada en diversas áreas, como las matemáticas, la física, la biología, la ingeniería y la economía; particularmente, en modelos electromagnéticos, electromecánicos, genéticos, de tasa de desempleo, de control, entre otros ². En sistemas de control, este fenómeno es utilizado para filtrar señales, así la salida reacciona más lentamente ante su estado actual, permitiendo contrarrestar, compensar o eliminar efectos como: inestabilidades, inexactitudes, perturbaciones, oscilaciones subarmónicas u otro tipo de ondas complejas que afectan de forma no deseada la salida del sistema 3),(4.

Diversos sistemas son diseñados para poseer histéresis, la principal razón radica en evitar la rápida conmutación no deseada en la tensión de salida de la fuente de este tipo de sistemas, con el fin de mantener fija la frecuencia de conmutación respecto a un valor de referencia, lo cual permite que no se deterioren los elementos que lo conforman. Usualmente está técnica es utilizada en la fuente de alimentación de ciertos sistemas, como por ejemplo los termostatos que regulan la temperatura de los sistemas de calefacción.((5),(6),(7))

Un dispositivo donde es comúnmente usada esta técnica de control es el conmutador de potencia relé, que además de tener bajo costo, su operación es simple y robusta, permitiendo controlar dispositivos con altos voltajes o elevadas potencias a bajas frecuencias de conmutación. En la Figura 1 se muestra un tipo de relé que presenta un ciclo de histéresis. Donde, D indica los niveles de conducción y δh indica los niveles de conmutación por histéresis ¹.

Este conmutador resulta muy eficiente en diversos sistemas, por ejemplo, a la hora de ajustar un termostato en un sistema de calefacción para mantener el nivel de temperatura alrededor de un nivel deseado θ (ver Figura 2).

• Materias:Sistema dinámico (Matemáticas) Electromagnetismo Programación lineal
• Subjects:Dynamic system (Mathematics) Electromagnetism Linear programming
• Palabras claves:Histéresis; Órbita periódica; Sistemas dinámicos por partes; Cuencas de atracción.
• Keywords:Hysteresis; Periodic orbit; Piece-wise dynamic systems; Basins of attraction.