Resumen

En este trabajo presentamos la implementación de un método de elementos finitos combinado con la aplicación Dirichlet-to-Neumann (DtN), obtenida en términos de series de Fourier, para estudiar la existencia de soluciones de un problema exterior que proviene de la teoría de elasticidad lineal incompresible bidimensional. Finalmente, se presenta un método numérico que demuestra la precisión de nuestra aplicación DtN, puesto que sólo se necesitan unos cuantos términos de la serie de Fourier para obtener una buena aproximación de la solución. Para la discretización del problema se emplea el elemento estable Taylor-Hood.

Introducción

En este trabajo se explica un procedimiento para estudiar la aproximación de Galerkin de un material incompresible en un dominio exterior no acotado Ω. El procedimiento emplea la aplicación Dirichlet-to-Neumann (DtN) (Han y Bao, 1997; Gatica, Gatica y Stephan, 2003; Kako y Touda, 2004), que consiste en introducir una frontera artificial dibujando en Ω un círculo Γ_R en ℝ² de radio R. Entonces Ω se divide en la parte acotada Ω_i y la no acotada Ω_R. Para resolver el problema en el dominio acotado Ω_i se dan condiciones de frontera exactas y aproximadas sobre la frontera artificial ΓR (Figura 1).

Sea Ω ⊂ ℝ² un dominio no acotado y simplemente conexo con frontera Lipschitz continua Γ. Teniendo en cuenta las condiciones de frontera tipo Dirichlet dadas sobre Γ se define el espacio  H_Γ¹ = {v: Ω → ℝ ∶ v ∈ H¹(Ω), v|Γ = 0}. Así, el problema de elasticidad lineal por resolver consiste en encontrar (u, p) ∈ [H_Γ¹(Ω)]² × L²(Ω)  tal que:

−2µ div ε(u) + grad p = f, in Ω,

div (u) = 0,      in Ω, (1) 

Aquí u: Ω → ℝ representa el desplazamiento y p es la presión del material  en  cada  punto x ∶= (x₁, x₂)^T  ∈ Ω por el efecto de la fuerza externa f, µ > 0  es la constante de Lamé y ε(u)  representa el tensor de esfuerzos de componentes ε_ij(u), para í, j = 1, 2. De este material suponemos válida la relación tensiónesfuerzo para pequeñas deformaciones, tal como se discute en Necas (1986); véanse también Necas (1981) y Zeidler (1988). En este trabajo suponemos que la fuerza f tiene soporte compacto y que está contenida en la región Ω_i.

Sean X = [H_Γ¹(Ω)]²  y M = L²(Ω)  espacios dotados con las normas de L²(Ω)  y H¹(Ω), respectivamente. Entonces, siguiendo el procedimiento estándar de integración por partes, se llega a la siguiente formulación variacional del problema (1):

2μ∫_Ωε(u): ε(v) dx − ∫_Ωp div v dx = ∫_Ωf ∙ vdx

∫_Ωq div vdx = 0.

Nótese que este problema está definido en el dominio no acotado Ω y Ω_i es el dominio computacional para nuestro método de elementos finitos, que se obtiene al introducir la frontera artificial ΓR. Entonces es necesario deducir la formulación variacional del problema (1) en Ω_i; nuevamente mediante integración por partes, y teniendo en cuenta que para el tensor distorsión σ(u, p) ∶= 2µε(u) − pi, donde i es la matriz identidad de orden 2, se tiene que – div (σ(u, p)) = −2µ div ε(u) + grad p, y a partir de esto se obtiene la formulación débil:

2μ∫_Ωi ε(u): ε(v) dx − ∫_ΓR σ(u, p) ∙ v ∙η ds − ∫_Ωip div v dx

= ∫_Ωif ∙ v dx (2)

∫_Ωiq div v dx = 0.

• Materias:Método de elementos finitos Ingeniería de software
• Subjects:Finite element method Software engineering
• Palabras claves:Método de elementos finitos mixto; Elemento taylor-hood; Técnica dtn; Elasticidad lineal; Condición inf-sup
• Keywords:Mixed finite element method; Taylor-hood element; Dtn technique; Linear elasticity; Inf-sup condition