Resumen

Se hace una presentación y análisis de varias de las paradojas que más han influido en el desarrollo de las matemáticas y se relacionan algunas de ellas con el tema del infinito. Se clasifican en dos grandes grupos: semánticas y lógicas.

INTRODUCCIÓN

Para muchos, una paradoja es algo que a primera vista parece ser falso pero que en realidad es cierto; o que parece ser cierto pero que en rigor es falso; o sencillamente que encierra en sí mismo contradicciones. Los conceptos de certeza o falsedad en matemáticas y aún el de contradicción, dependen del grado de desarrollo de la matemática en un momento dado; parodiando a Hamlet puede decirse que «lo que una vez fue paradoja, ya no lo es, pero puede volver a serlo». Este hecho también se da en las ciencias experimentales y conduce inicialmente a un cuestionamiento del concepto de «rigor científico» que se maneja en cada época.

Uno de los aspectos más interesantes de la matemática estriba en que sus más difíciles paradojas encuentran un camino para originar las más bellas y profundas teorías; Kasner y Newman sostienen:

«El testamento de la ciencia es un flujo continuo, de tal manera que la herejía del pasado es el evangelio del presente y el fundamento del mañana” (Kasner, et al., 1979).

A menudo se llega a paradojas cuando se contradice el denominado principio del tercero excluido (Kleiner et al., 1994), que afirma lo siguiente: cualquier enunciado proposicional es verdadero o es falso, pero no se pueden dar ambas cosas simultáneamente.

​Al tratar de aplicar a conjuntos infinitos el hecho de que: Si es posible emparejar todos los elementos de un conjunto con todos los pertenecientes a otro, entonces, ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos puso a los matemáticos ante algunos hechos que eran inexplicables en su época y que fueron considerados como paradojas; algunas de ellas, son:

1. Es posible emparejar todos los puntos de dos segmentos de rectas.

En efecto dados dos segmentos AB y CD, que podemos suponer paralelos, conéctese D con A y B con C para obtener el punto O. Sea M ∈ AB, la recta que pasa por O y M, corta al segmento CD en el punto N; en forma similar, si N ∈ CD la recta que pasa por O y N, corta al segmento AB en el punto M De esta forma quedan emparejados todos los puntos de AB con los del segmento CD.

2. En el siglo XVI, Galileo Galilei, observaba que todo entero positivo tiene un cuadrado y que todo cuadrado proviene de un entero positivo, es decir, que es posible emparejar todos los elementos del conjunto de los enteros positivos con todos los elementos del conjunto de los cuadrados de números enteros positivos, y así llegó a la conclusión de que las relaciones de igualdad y de desigualdad no son válidas en el infinito (Kleiner et al., 1994).

• Materias:Teoría Matemática Matemáticas Análisis Matemático
• Subjects:Mathematical Theory mathematics Mathematical Analysis
• Palabras claves:Paradojas, paradojas semánticas, paradojas lógicas, tiempo, espacio, continuo, discreto, verdad matemática, conjunto paradójico, definiciones impredicativas.
• Keywords:Paradoxes, semantical paradoxes, time, space, continuum, discreet, mathematical truth, paradoxical set, non-predicative definitions.