Los métodos existentes para la planificación de trayectorias con evasión de obstáculos necesitan verificar la interferencia entre una parte en movimiento y un obstáculo en cada iteración e incluso calcular su distancia más corta en el caso de parámetros de movimiento dados. Además, tareas como la verificación de colisiones y el cálculo de la distancia mínima en sí mismas son complicadas y consumen mucho tiempo. Un análisis matemático riguroso podría ser una forma práctica de lidiar con los problemas mencionados anteriormente. Una función-an es una función de valores reales cuyas propiedades están completamente determinadas por atributos correspondientes de sus parámetros, que generalmente se aplica para expresar un objeto geométrico. Por lo tanto, se crea una función de distancia firmada basada en funciones-an para representar si dos objetos intervienen y su nivel de intervención o separación. Dado que la función firmada es continua y diferenciable, la información del gradiente de la función objetivo guía a una parte en movimiento para evitar sus obstáculos y acercarse rápidamente a su posición objetivo. Por lo tanto,
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