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El índice de Kirchhoff de es la suma de las distancias de resistencia entre todos los pares de vértices de en redes eléctricas. es el Invariante Laplaciano-Energía de en química. En este artículo, definimos dos clases de gráficos de unión: la unión de subdivisión-vértice-vértice y la unión de subdivisión-arista-arista . Determinamos el polinomio característico generalizado de ellos. Deducimos los polinomios característicos de adyacencia (Laplaciano y Laplaciano sin signo, respectivamente) de y cuando es un grafo -regular y es un grafo -regular. Como aplicaciones, los espectros Laplacianos nos permiten obtener las fórmulas del número de árboles abarcadores, índice de Kirchhoff, y de y en términos de los espectros Laplacianos de y .
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