Resumen

En este artículo estudiamos varias propiedades de las funciones hipergeométrica de Gauss extendida e hipergeométrica confluente extendida. Derivamos varias integrales, desigualdades y establecemos relaciones entre estas y otras funciones especiales. También mostramos que estas funciones ocurren naturalmente en la teoría de distribuciones estadísticas.

1 INTRODUCCIÓN

La función beta clásica, denotada por B (a, b), se define (véase Luke [1]) por la integral de Euler

​$B(a,b) = displaystyleint_{0}^1t^{a-1}(1−t) ^{b-1}dt,$

$=frac{Γ(a)Γ(b)}{Γ(a+b)}, Re(a)>0,Re(b)>0.$     (1)

Sobre la base de la función beta, la función hipergeométrica de Gauss, denotada por F(a, b; c; z), y la función hipergeométrica confluente, denotada por Φ(b; c; z), para Re(c) > Re(b) > 0, se definen como (véase Luke [1]),​

​$F(a,b;c;z) = frac{1}{B(b,c−b)} displaystyleint_{0}^1 frac{t^{b-1} (1−t)^{c−b−1}}{(1−zt)^a} dt,|arg(1−z)|< π,$   (2)

y

​$Φ(b;c;z) = frac{1}{B(b,c−b)} displaystyleint_{0}^1t^{b-1} (1−t) ^{c−b−1}exp(zt)dt.$     (3)

Utilizando las expansiones en serie de (1 - zt)^-a y exp (zt) en (2) y (3), respectivamente, las representaciones en serie de F(a, b; c; z) y Φ(b; c; z), para Re(c) > Re(b) > 0, se obtienen como

• Materias:Distribución (Teorí­a de probabilidades) Análisis Matemático Geometría
• Subjects:Distribution (probability theory) Mathematical Analysis Geometry
• Palabras claves:Distribución beta; función beta extendida; función hipergeométrica confluente extendida; función hipergeométrica de Gauss extendida; distribución gamma; función hipergeométrica de Gauss
• Keywords:Beta distribution; extended beta function; extended con-fluent hypergeometric function; extended Gauss hypergeometric function; gamma distribution; Gauss hypergeometric function