Resumen

Estudiamos el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace en 2D en un dominio delimitado por curvas cerradas suaves y grietas suaves. En la formulación del problema, no requerimos condiciones de compatibilidad para los datos de contorno de Dirichlet en las puntas de las grietas. Sin embargo, si los datos de contorno satisfacen las condiciones de compatibilidad en las puntas de las grietas, entonces este es un caso particular de nuestro problema. Se consideran los casos de dominios interiores y exteriores. Se proporciona la formulación bien planteada del problema, se demuestran teoremas sobre la existencia y unicidad de una solución clásica, y se obtiene la representación integral de una solución. Se muestra que la solución débil del problema no suele existir, aunque la solución clásica sí existe. Se presentan las fórmulas asintóticas para las singularidades del gradiente de una solución en las puntas de las grietas.

• Materias:Teoremas de convergencia Ecuaciones no lineales Conexión canónica Subvariedades Transversales Automorfismos
• Subjects:Convergence Theorems Nonlinear equations Canonical connection Traversal subvarieties Automorphisms
• Palabras claves:Ecuación de Laplace; Problema de Dirichlet; Curvas cerradas suaves; Grietas suaves; Condiciones de compatibilidad; Solución clásica
• Keywords:Laplace equation; Dirichlet problem; Smooth closed curves; Smooth cracks; Compatibility conditions; Classical solution