En este artículo derivamos refinamientos de desigualdades de tipo Jensen en el caso de medidas de Stieltjes reales, no necesariamente positivas, que son generalizaciones de la desigualdad de Jensen y sus reversos para medidas positivas. Además, investigamos la convexidad exponencial y logarítmica de la diferencia entre el lado izquierdo y el lado derecho de estas desigualdades y damos varios ejemplos de familias de funciones para las cuales los resultados obtenidos pueden aplicarse. El resultado es una nueva clase de medias de tipo Cauchy.
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