Resumen

En este artículo se estudia la “no Lie” simetría de la ecuación de viga, se construyen todos los operadores de simetría diferenciales lineales, hasta tercer orden. Se constata que el problema de resolución de dicha ecuación se reduce a la búsqueda de soluciones de dos ecuaciones de Kolmogorov. Se despejan varias clases de soluciones de la ecuación, particularmente las que verifican la ley de conservación de la velocidad areolar inicial y las que verifican la ley de conservación de elasticidad inicial. Se ilustra la equivalencia entre el problema de Cauchy y la existencia de una simetría específica. Se encuentra el paralelismo sorprendente que existe entre la ecuación de viga y la ecuación de onda. Aplicando el “método Ansatz” se construye una amplia familia de nuevas soluciones exactas que incluye particularmente las que describen la propagación de ondas con amortiguamiento. Todos los resultados del artículo son nuevos, los pocos resultados conocidos en la literatura son siempre mencionados.

1 INTRODUCCIÓN

En el marco de la teoría de Euler–Bernoulli [1], el comportamiento dinámico de las vibraciones transversales de una viga elástica verifica la ecuación lineal diferencial parcial de orden cuatro

​$A\Phi \equiv ({\partial }_t^2-{\partial }_x^4)\Phi (t,x)=0,t>0;x\in [0,L]\subseteq R.(1)$

Los métodos de resolución de (1) no están desarrollados como en el caso de las ecuaciones de segundo orden. Tradicionalmente, en la literatura se utiliza la separación de variables directamente en coordenadas iniciales Φ(t, x) =X(x)T(t), lo que permite la aplicación del análisis de Fourier.

En los últimos tiempos varias ecuaciones han sido estudiadas aplicándola teoría de Lie. Gandarias y Bruzón [2], Bruzón et al. [3], Wafo [4] y otros aplicaron la teoría de Lie para deducir las simetrías clásicas de (1) y construir algunas soluciones particulares.

Sin embargo, la simetría “no Lie” de (1) prácticamente no está estudiada. Esta investigación representa el primer paso en esta dirección. Todos los resultados que se presentan en este artículo son nuevos, por lo tanto, se dificulta relacionar estos resultados directamente con los resultados existentes en la literatura. No obstante, los pocos resultados conocidos en la literatura son mencionados.

• Materias:Vibración - Modelos matemáticos Elásticidad Ecuaciones
• Subjects:Vibration - Mathematical models Elasticity Equations
• Palabras claves:Operadores de simetría; Problema de Cauchy y simetría; Paralelismo entre ecuaciones; Método Ansatz.
• Keywords:Operators of symmetry; Cauchy problem and symmetry; Parallelism between equations; Ansatz method.