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Las matrices de las representaciones irreducibles de un grupo G se usan para el cómputo de la Transformada Generalizada de Fourier de una función definida en G. Existen muchas otras aplicaciones para las representaciones irreducibles de un grupo. Nosotros elaborarnos un software que calcula las matrices de las representaciones irreducibles del grupo simétrico en la forma serninormal de Young. Este programa corre en el Sistema Algebraico Computacional CoCoA.
INTRODUCCIÓN
El cómputo explícito de las representaciones irreducibles de un grupo finito es necesario para desarrollar ciertas aplicaciones de la teo ría de grupos. Probablemente el ejemplo más conocido sea el desarrollo de algoritmos rápidos para el cálculo de la transformada de Fourier y en particular, algoritmos como el de Cooley Tukey. También el análisis estadístico de datos obtenidos por ejemplo, en en cuestas de preferencia, hace uso de las representaciones de los grupos simétricos, en el cálculo de la transformada generalizada de Fourier o transformada de Wedderburm, para una función definida sobre un grupo G.
Estas transformadas han sido bien estudia das, y en el caso que el grupo sea cíclico o diádico, dichas transformadas se conocen como la transformada discreta de Fourier y la transformada de Haddamard-Walsh respectivamente.
Si G es conmutativo, las representaciones irreducibles de G son los caracteres de G, es decir, son homomorfismos definidos sobre G de valor complejo. En particular, si G = Z = (x) el grupo cíclico de orden n, G tiene n representaciones irreducibles de dimensión 1 (homomorfismos de G en e·) dados por pj(xk)=ωnkj, ∀k,j,0≤k, j≤ n-1, ωn=e2πn (1.1)
Si fes una función definida sobre Z 0 y denotamos por xj=f (xi),la transformada de Fourier para f en la representación pj está dada por,
f(j)n-1∑k=0f(xk)ρj(xk) (1.2)
=n-1∑k=0xkωnkj
que la podemos interpretar como la multiplicación
donde FnjXT
Fnj=[ωnj0ωnj1...ωjn(n-2)ωjn(n-2)]
y X=[x0x1...xn-1]
Luego el cálculo de la transformada de Fourier de f en todas representaciones irreducibles de Zn equivale a la multiplicación matriz-vector
FnX
Esta es una versión de prueba de citación de documentos de la Biblioteca Virtual Pro. Puede contener errores. Lo invitamos a consultar los manuales de citación de las respectivas fuentes.
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