Resumen

Sea x(t) una función aleatoria gaussiana localmente autosimilar. Denotemos por rxx(τ) la función de autocorrelación (ACF) de x(t). Para x(t) que es suficientemente suave en (0,∞), existe una expresión asintótica dada por rxx(0)-rxx(τ)~c|τ|α para |τ|→0, donde c es una constante y α es el índice fractal de x(t). Si lo anterior es cierto, la dimensión fractal de x(t), denotada por D, viene dada por D=D(α)=2-α/2. Convencionalmente, α se restringe estrictamente a 0<α≤2 para asegurarse de que D∈[1,2). El proceso de Cauchy generalizado (GC) es un ejemplo de este tipo de funciones aleatorias. Otro ejemplo es el movimiento browniano fraccionario (fBm) y su proceso de incremento, es decir, el ruido gaussiano fraccionario (fGn), que siguen estrictamente el caso de D∈[1,2) o 0<α≤2. En este trabajo, afirmo que el índice fractal α de x(t) puede relajarse al rango α>0 siempre que su ACF siga siendo válido para α>0. Con esta afirmación, extiendo el proceso GC para permitir α>0 y llamo a esta extensión, por simplicidad, el proceso GC extendido (EGC para abreviar). Abordaré que hay dimensiones 0≤D(α)<1 para 2<α≤4 y además D(α)<0 para 4<α para los procesos EGC. Explicaré que x(t) con 1≤D<2 es localmente más rugosa que aquella con 0≤D<1. Además, x(t) con D<0 es localmente más suave que aquella con 0≤D<1. La x(t) localmente más suave ocurre en el límite D→-∞. Este trabajo se centra en las dimensiones fractales de las funciones aleatorias. Los procesos EGC presentados en este trabajo pueden ser dependientes de largo alcance (LRD) o dependientes de corto alcance (SRD). Aunque las aplicaciones de esta clase de funciones aleatorias para D<1 siguen siendo desconocidas, demostraré las realizaciones de los procesos EGC para D<1. El resultado anterior relativo a la dimensión fractal negativa de las funciones aleatorias puede ampliarse para describir una clase de campos aleatorios con dimensiones negativas, que también se resumen en este artículo.

• Materias:Análisis Matemático Álgebra Ingeniería Matemática aplicada Lógica matemática
• Subjects:Mathematical Analysis Algebra Engineering Applied Mathematics Mathematical logic
• Palabras claves:x(t, funciones aleatorias, artículo, procesos egc, dimensión fractal, función aleatoria gaussiana similar, índice fractal α, movimiento browniano fraccional, ruido gaussiano fraccional, suavidad local x(t
• Keywords:x(t, random functions, paper, egc processes, fractal dimension, similar gaussian random function, fractal index α, fractional brownian motion, fractional gaussian noise, local smoothest x(t