Secuencia Sonar Bose y algunas propiedades

Bose Sonar sequence and some applications

Se presenta la secuencia sonar Bose y se muestra que satisfacen algunas de las características de las secuencias sonar conocidas, las cuales se relacionan mediante algunas propiedades geométricas y algebraicas de los conjuntos de Sidon. Se especifica una metodología para la obtención de la secuencia Bose utilizando el software Matlab, estas secuencias pueden ser aplicadas a diversos campos de la ingeniería que involucren técnicas Radar y/o Sonar.

1. INTRODUCCIÓN

Las secuencias sonar fueron introducidas por Golomb y Taylor [4] como ejemplos de patrones de sincronización dos dimensional de mínima ambigüedad. Una secuencia sonar m x n es un arreglo de puntos y espacios que tienen m filas y exactamente un punto en cada una de sus n columnas, sujeto a la restricción que cada par de puntos determinan vectores distintos.

El problema de estudio actualmente de las secuencias sonar es el siguiente: para m fijo encontrar el mayor n para el cual existe una secuencia sonar m x n;

Un arreglo Costas de orden n se puede considerar geométricamente como un conjunto de n puntos situados en los cuadrados de un tablero de ajedrez de tamaño n x n, tales que cada fila o columna contiene un sólo punto y los $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=\frac{n(n-1)}{2}$ ectores de desplazamiento, entre cada par de puntos, son distintos.

Los arreglos Costas aparecen por primera vez en 1965 en el contexto de la detección sonar [1] cuando J. P. Costas decepcionado por los malos resultados de los sistemas sonar, los usó para describir un nuevo patrón de saltos de frecuencia [10] para los sistemas sonar con óptimas propiedades de autocorrelación. J. Costas encontró arreglos Costas hasta de orden 12 utilizando lápiz y papel, pero no pudo continuar, mucho menos pudo encontrar una técnica general de construcción de los mismos. Golomb desarrolló dos técnicas de generación de arreglos Costas, ambas basadas en la teoría de Campos Finitos, conocidos hoy en día como Método Welch y Método Golomb [11,3,2]. Además, éstas construcciones son las únicas que se conocen en la actualidad, pese a los esfuerzos de muchos investigadores.​

Los arreglos Costas se han estudiado durante varios años y muchas de las preguntas básicas referentes a su construcción aún permanecen abiertas. Por ejemplo, la generación de algunos métodos produce arreglos Costas para infinitos n, pero no para todo n. La primera pregunta planteada por J. Costas, que aún sigue abierta, es la siguiente:

¿Existen arreglos Costas de orden n, para todo n?