Refinamiento iterativo del Método de Gauss-Jordan, en sistemas mal condicionados

Iterative refinement of the Gauss-Jordan method, in ill conditioned systems

En este Artículo, se construye un algoritmo iterativo para mejorar la solución de un sistema de ecuaciones lineales, de la forma Ax = b, cuando se resuelve utilizando el método de Gauss-Jordan y utilizando aritmética finita. Comprender el funcionamiento del algoritmo, mostrar su alcance y analizar cómo se dedujo, se logra a través del concepto de norma matricial, junto con algunas de sus propiedades. Se introduce el concepto del número de condición de una matriz, y se le encuentran cotas mediante el uso de las normas matriciales. Finalmente, se expone el algoritmo iterativo del Refinamiento, que muestra el poder de éste, al resolver un sistema de Ecuaciones lineales mal condicionadas.

1. INTRODUCCIÓN

Un resultado muy conocido del álgebra lineal indica que si A es una matriz cuadrada invertible de orden n con entradas complejas, entonces, el sistema de ecuaciones Ax = b tiene solución única, sin embargo, encontrar dicha solución no siempre es una tarea fácil. La dificultad en el cálculo de una solución para un problema de este tipo se da, o porque la “magnitud” de la matriz o de su inversa podría ser muy grande o porque las entradas de la matriz podrían ser cantidades extremadamente grandes o extremadamente pequeñas, lo que causa que hallar la solución sea una tarea larga, tediosa y poco precisa cuando se trabaja con una aritmética finita, y en algunos casos casi imposible de realizar. Cuando se menciona la “magnitud” de una matriz, se hace referencia al tamaño dado por alguna de las normas matriciales.

Como una posible solución a este inconveniente, se empezó a pensar en el desarrollo de una máquina que hiciera cálculos matemáticos de forma rápida y precisa, uno de los primeros en iniciar la construcción de dicha máquina fue Charles Babbage, (1791-1891) quien es conocido como el “padre de la computación”, por el diseño, (no construcción), de lo que podría ser la primera máquina analítica que ejecutó programas de tabulación o computación. Posteriormente, en el marco de la segunda guerra mundial, Alan Turing (1912 - 1954) y John von Neumann (1903 - 1957) contribuyeron en el desarrollo y construcción de las primeras computadoras digitales, como herramientas que facilitaron y agilizaron los cálculos numéricos, como se establece en Turing [10] y en Díaz [5].

Turing es conocido por ser uno de los pioneros de la computación moderna, sus trabajos permitieron la creación de las primeras calculadoras digitales y sus aportes en el proceso para la creación de máquinas que facilitaran los cálculos numéricos fueron significativos.