Hopf algebras and skew PBW extensions

Álgebras de Hopf y extensiones PBW torcidas

En este artículo se relacionan algunas estructuras de álgebra de Hopf sobre extensiones de Ore y extensiones PBW torcidas de un álgebra de Hopf. Estas relaciones son ilustradas con ejemplos. También se demuestra que las extensiones Hopf Ore y las extensiones Hopf Ore generalizadas son extensiones PBW torcidas de Hopf.

1. INTRODUCCIÓN

Las álgebras de Hopf son un campo de investigación muy activo en los últimos años. Tienen relaciones con la geometría no conmutativa. Si R es un álgebra de Hopf es natural preguntarse bajo qué condiciones la estructura de Hopf de R puede extenderse a una extensión de Ore B = R[x; σ, δ ] de R. Panov en [10] respondió a la pregunta anterior bajo la hipótesis adicional de que x es un elemento primitivo sesgado de B, es decir, hay elementos de tipo grupal a, b ϵ R tales que Δ(x) = α ⊗ x + x ⊗ b, donde Δ denota el coproducto de B. Brown, O´Hagan, J. Zhang y Zhuang en [2] investigaron cuando una extensión de Ore B = R[x; σ, δ ] de un álgebra de Hopf R admite una estructura de álgebra de Hopf, generalizando un resultado de Panov, el principal resultado en esta dirección es el Teorema 2.4. También estudiaron la estructura del álgebra de Hopf para extensiones iteradas de Ore y obtuvieron una gran familia de álgebras de Hopf conectadas de dimensión Gelfand-Kirillov finita (o dimensión GK para abreviar), incluyendo por ejemplo todas las álgebras envolventes de álgebras de Lie solubles de dimensión finita.

En el año 2018, You, Wang y Chen en [24] investigaron algunas estructuras de álgebras de Hopf sobre una extensión Ore de un álgebra de Hopf. Dieron condiciones necesarias y suficientes para que un cierto tipo de extensión Ore de un álgebra de Hopf tenga una estructura de álgebra de Hopf. Para ello definieron las extensiones de Ore de Hopf generalizadas.

Por otro lado, Gallego y Lezama en [3] definieron extensiones PBW sesgadas. Recientemente se han estudiado muchas propiedades de estas extensiones (véase por ejemplo [5, 6, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23]). Algunas álgebras, como las extensiones de Ore, el álgebra envolvente de un álgebra de Lie de dimensión finita y el plano cuántico son extensiones PBW sesgadas (véase [3]). La estructura del álgebra de Hopf de estas álgebras fue estudiada en [2, 10, 24]. En la literatura no se encuentra explícitamente una estructura de álgebra de Hopf para extensiones PBW sesgadas. Por lo tanto, en este trabajo estudiamos la estructura del álgebra de Hopf en algunas extensiones PBW sesgadas y su relación con las extensiones de Mineral de Hopf definidas en [10], las extensiones de Mineral de Hopf y las extensiones de Mineral de Hopf iteradas definidas en [2], y las extensiones de Mineral de Hopf generalizadas definidas en [24].

En la sección 2 presentamos algunas definiciones y propiedades relacionadas con las álgebras de Hopf, las extensiones de Ore y las extensiones PBW sesgadas. En esta sección se definen las extensiones PBW sesgadas de Hopf y se presentan algunos ejemplos y contraejemplos de estas álgebras.