Estudio de los modos de oscilación en un Péndulo Físico Simétrico usando el potencial efectivo

Study of the oscillation modes in a Symmetric Physical Pendulum using the effective potential

En este artículo presentamos un estudio unificado de la dinámica del péndulo físico simétrico en el espacio de fase de los distintos modos de oscilación que se presentan en este sistema: modo plano, modo elíptico y modo cónico, usando un potencial efectivo que va a depender de la coordenada de nutación y depende también paramétricamente de la energía y del momento angular del sistema. Presentamos también una deducción formal de la aproximación de Allais para la precesión ápsidal del péndulo físico simétrico usando la teoría de pequeñas oscilaciones alrededor del movimiento estacionario o modo de oscilación cónico.

1. INTRODUCCIÓN

El péndulo físico en su versión más simple es un sólido rígido de forma arbitraria que puede oscilar en un plano vertical que contenga a su centro de masa, alrededor de un eje perpendicular a dicho plano. El punto de intersección del eje con el plano es el punto de suspensión. Cuando el punto de suspensión se sustituye por un soporte que le permita al péndulo oscilar en todo el ángulo sólido que rodea al eje del cuerpo que pasa por su centro de masa y el punto de suspensión, y le permita además rotar alrededor de dicho eje, tenemos un péndulo físico con tres grados de libertad [1]. Debido a la rotación de la tierra, es claro que en un sistema inercial de referencia la precesión y el espín inicial son muy pequeños, del orden de 10^-4 rad/s, esto hace que la nutación se constituya en el movimiento dominante. En estas condiciones iniciales el péndulo describe trayectorias aproximadamente elípticas que precesan muy lentamente en un sistema de referencia inercial. A esta precesión la denominaremos precesión de Allais [2] y los resultados de este estudio representan una primera aproximación a la dinámica del péndulo físico asimétrico que es usado actualmente por muchos investigadores en el estudio de anomalías gravitacionales durante los eclipses [3, 4, 5].

Como veremos en este caso se distinguen tres modos de oscilación: el modo plano, el modo elíptico y el modo cónico.

En el modo plano el péndulo es soltado desde su posición inicial, sin ninguna velocidad transversal de manera que su momento angular es cero y el cuerpo describe su trayectoria sobre un arco de círculo vertical. En el modo elíptico el péndulo se mueve entre dos planos horizontales, se caracteriza porque el momento angular es distinto de cero y la trayectoria que describe es elíptica oblicua entre dos alturas [6]. Finalmente el péndulo se encuentra en su modo cónico cuando describe un movimiento circular uniforme a una altura fija, se distingue porque el momento angular es constante diferente de cero y el péndulo describe una trayectoria circular en un plano horizontal.