Propiedad χ en extensiones PBW torcidas graduadas

χ Property in Graded Skew PBW Extensions

En este artículo estudiamos la propiedad χ de álgebras que son extensiones PBW torcidas graduadas. Demostramos que siR = ⊕p≥$0R_p$​ es un álgebra noetheriana N-graduada y A = σ(R)($x_1$​,..., $x_n$​) es una extensión PBW torcida cuasi-conmutativa graduada de R, entonces A satisface χ si y solo si R satisface χ. También damos condiciones suficientes para que una extensión PBW torcida graduada de R satisfaga χ.

1 INTRODUCCIÓN

La propiedad χ (véase la Definición 3) juega un papel importante en geometría algebraica no conmutativa. Artin y Zhang en 2 describen algunas álgebras graduadas que satisfacen la condición χ y demuestran que una importante clase de álgebras que satisfacen χ son las álgebras regulares.

Gallego y Lezama en 4 definieron una clase especial de anillos de tipo polinomial, los cuales son llamados extensiones PBW torcidas. Varias propiedades de estas extensiones han sido ampliamente estudiadas (véase por ejemplo 5,6,7,9,11,12,13,14,15,16,17,19,21). Gran parte de los ejemplos, las propiedades y otros aspectos importantes de las extensiones PBW torcidas se encuentran compiladas en 3.

El primer autor en 18 definió las extensiones PBW torcidas graduadas como una generalización de las extensiones de Ore iteradas graduadas. Algunas propiedades de estas extensiones graduadas han sido estudiadas recientemente (véase por ejemplo 6,20).

Es natural preguntarnos qué condiciones deben cumplir las extensiones PBW torcidas graduadas para que satisfagan la propiedad χ. En este artículo mostramos que bajo ciertas condiciones para un anillo R, una extensión PBW torcida graduada de R satisface la propiedad χ. En especial, si R es un álgebra noetheriana N-graduada y A es una extensión PBW torcida cuasi-conmutativa graduada, entonces R satisface χ si y solo si A satisface χ. Las extensiones PBW torcidas cuasi-conmutativas graduadas también tienen la propiedad χ cuando el anillo de coeficientes R cumple alguna de las siguientes condiciones:

a. Si R es una PI-álgebra noetheriana.

b. Si R es un álgebra conmutativa noetheriana graduada.

c. Si R es un álgebra Artin-Schelter regular noetheriana.

También demostramos que las extensiones PBW torcidas graduadas de un álgebra conexa, finitamente presentada y Auslander-regular satisfacen χ.

Los principales resultados se encuentran en el Teorema 17, el Corolario 19, la Proposición 22 y la Proposición 26. Ilustramos estos resultados mediante algunos ejemplos.