Construcción de conjuntos Bh en varias dimensiones

Constructions of Bh Sets in Various Dimensions

Un conjunto $B_h$​ es un subconjunto A de números enteros con la propiedad que todas las sumas de h elementos son distintas, salvo permutaciones de los sumandos. El problema fundamental consiste en determinar el máximo cardinal de un conjunto $B_h$​ contenidoen el intervalo entero [1,n] := {1,2,3,...,n}. Se conocen pocas construcciones de conjuntos $B_h$​ enteros, entre ellas se tienen la de Singer [13], Bose-Chowla [3] y Gómez-Trujillo [7].

El concepto de conjunto $B_h$ se puede extender a grupos arbitrarios. En este articulo se presentan las construcciones generalizadas a los grupos que provienen de un cuerpo y se obtiene una nueva construcción de un conjunto $B_h$​+s en h+1 dimensiones.

1 INTRODUCCIÓN

El estudio de conjuntos de enteros con la propiedad que todas las sumas de dos elementos sean distintas, inicia con Simon Sidon en el año de 1932, cuando quiere determinar el máximo cardinal de un conjunto con esta propiedad contenido en los primeros n enteros positivos; a estos conjuntos se les conoce hoy en día con el nombre de conjuntos Sidon o conjuntos B₂. Aunque estos conjuntos aparecen en los números enteros, el concepto es fácil de extender a cualquier grupo abeliano. También es posible considerar sumas de más de dos elementos para obtener los denominados conjuntos B_h (Conjuntos Sidon de orden h).

En 1938, James Singer [13] en su estudio sobre geometría proyectiva finita, demostró el siguiente resultado relacionado con los conjuntos B₂.

Teorema 1.1. Si q es una potencia de un primo, entonces existen q +1 enteros α₁, a₂,...,α_q+1 tales que /as q² + q diferencias αi - αj, distintas de cero representan todos /os residuos no cero módulo q² + q + 1.

Bose [2] probó un análogo del Teorema de Singer, en 1942.

Teorema 1.2. Si q es una potencia de un primo, entonces existen q enteros α₁; α₂,..., α_q tales que /as q(q - 1) diferencias α_i - α_j, distintas de cero representan todos aquellos residuos no cero módulo q² - 1 que no son múltiplos de q + 1.

Como en el anillo de enteros módulo n tener diferencias no cero distintas es equivalente a tener sumas diferentes, los teoremas de Singer y Bose [13, 2] se pueden enunciar en términos de sumas; es decir, se tienen las siguientes consecuencias.

Corolario 1.3. Si q es una potencia de un primo, entonces existen q +1 enteros α₁, α₂,..., α_q+1 tales que todas /as sumas α_i + α_j, 1 ≤ i ≤ j ≤ q + 1, son distintas módulo q² + q +1.

Corolario 1.4. Si q es una potencia de un primo, entonces existen q enteros α₁; α₂,..., α_q tales que todas /as sumas α_i + α_j, 1 ≤ i ≤ j ≤ q, son distintas módulo q² - 1 .

Más tarde en 1961, Bose y Chowla [3] generalizan los resultados anteriores para sumas de h elementos para todo entero h ≥ 2.