Interpolación polinomial, algunas técnicas y su programación

Polynomial interpolation, some techniques and their programming

En este artículo se estudian algunas técnicas de interpolación polinomial e interpolación polinomial a trozos. Respecto a las primeras, se propone una demostración alternativa de su equivalencia. También se plantea una sencilla codificación de tales métodos en el software Matlab, usando comandos básicos y sin recurrir a rutinas de interpolación predefinidas por este software.

INTRODUCCIÓN

Los polinomios algebraicos están entre las funciones más conocidas y prácticas del cálculo y el análisis. Su importancia radica en que por medio de ellos se puede aproximar uniformemente cualquier función continua con un dominio adecuado, y, entonces, acercarse a cuestiones como la derivación e integración, o, simplemente, el cálculo de un valor particular de la función tiene un tratamiento algebraico relativamente simple. Formalmente se hace referencia al siguiente teorema, que expresa de manera precisa y rigurosa estas ideas y cuya demostración puede verse, por ejemplo, en [1] o [2].

Teorema 1: Sea f una función de valor real, continua sobre un intervalo compacto de la recta real. Entonces f puede ser aproximada uniformemente por polinomios. Dicho de otro modo, para cada E > 0, existe un polinomio P(x) tal que si x ∈ [a, b] entonces | f(x) - P(x) | < E

La interpolación polinomial es una herramienta matemática de gran importancia en la teoría de aproximación, y a grandes rasgos, busca dar solución al siguiente problema: dados los números reales distintos x_i (llamados nodos), con ¡ = 0,1,2,..., n, y los reales y_i también con i = 0,1,3,....n, encontrar un polinomio P_n(x) de grado no mayor a n tal que P_n(x_i) = y para i=1,2,...n. Dicho de otro modo, si cada x_i está en el dominio de una función f, e y_i= f(x_i) entonces se busca que P_n = y_i para i=1,2....n y que para valores intermedios, el polinomio sea una aproximación razonablemente buena de la función.

En la práctica, resulta engorroso calcular los coeficientes de los polinomios de interpolación, y, por tanto, puede ser útil programar algoritmos que permitan obtenerlos para grados relativamente grandes, por medio de un software de computador, que permitan, incluso, calcular valores particulares, aunque no se tengan explícitamente los coeficientes de los mismos.

En la primera sección de este escrito, se mencionan los fundamentos teóricos de las principales técnicas de interpolación polinomial, y de interpolación polinomial a trozos, poniendo especial atención en estas últimas, a los esplines cúbicos, como ejemplos de curvas de interpolación de mayor suavidad.