Well-Posedness to the cauchy problem associated to the non lineal Schrödinger equation

Buen planteamiento del problema de cauchy asociado a la ecuación no lineal de Schrödinger

En este artículo se muestra el buen planteamiento del problema de Cauchy asociado a la ecuación no lineal de Schrödinger en espacios de Sobolev H^s (R) usando el método de regularización parabólica, estimativas de Bona-Smith y los métodos propuestos por Iorio en [7 - 9].

INTRODUCCIÓN

La ecuación lineal de Schródinger fue formulada por Erwin Schródinger en 1925 y publicada en 1926. Describe cómo el estado cuántico de algún sistema físico cambia con el tiempo. Las ecuaciones no lineales de Schródinger son el principal objeto de estudio de muchos problemas físicos.

En este trabajo estudiaremos la buena propuesta local al problema de Cauchy asociado a la ecuación de Schródinger no lineal (NES):

​$\{\begin{array}{c}ivt+\Delta v+|v{|}^{2\sigma }v=0,xϵR,t\ge 0,\\ v(0)=\varphi \end{array}$

Si σ = 1, la ecuación describe la propagación de un rayo láser en un medio óptico no lineal cuyo índice de refracción es proporcional a la intensidad de la onda. Además, la ecuación NLS modela con éxito otros fenómenos ondulatorios, como las ondas de agua en la superficie libre de un fluido ideal, así como las ondas de plasma.​

Cao, Musslimani y Titi demuestran la bondad de la siguiente regularización del problema (1):

​​$$\begin{gathered} ivt+\Delta v+u|v{|}^{\sigma -1}v=0,x\in \mathbb{R},t\ge 0, \\ u-a^2\Delta u=|v{|}^{\sigma +1}, \\ v(0)=\varphi , \end{gathered}$$

donde a > 0 y σ ≥ 1.

Esto se llama la ecuación de Helmholtz-Schródinger y fue estudiada en [3]. Nótese que cuando a = 0, obtenemos la NLS.

A diferencia del trabajo de Cao, Musslimani y Titi, aquí utilizamos el método de regularización parabólica, la aproximación de Bona-Smith y los métodos propuestos por lorio [7,9] para mostrar el buen planteamiento del problema (1). El método de regularización parabólica consiste en regularizar la ecuación (1) utilizando el término viscoso -iμHΔv, construyendo la solución al problema de Cauchy para la ecuación parabólica no lineal y tomando el límite a medida que la viscosidad tiende a cero, es decir, μ → 0+. La aproximación de Bona-Smith fue propuesta en [2]. En este trabajo, las estimaciones se utilizan para aproximar los datos iniciales utilizando funciones suaves y obteniendo límites uniformes para las soluciones. Estas técnicas también se utilizaron en [1, 5].

Utilizaremos la siguiente notación:

• R para los números reales.