Construcción de Distribuciones Multivariadas con Marginales Dependientes Usando Cópulas en R.

Construction of Multivariate Distributions with Dependent Marginals Using Copulas in R.

Las cópulas se han convertido en una herramienta popular para la construcción de modelos multivariados en campos donde la dependencia multivariada es de gran interés. El propósito de este trabajo es presentar las cópulas tanto en su concepto teórico, como en su implementación en el software estadístico R y profundizaren la construcción de distribuciones multivariadas con marginales dependientes, usando la clase mvdc del paquete copula, la cual permite utilizar varias y diferentes marginales ya implementadas. Además, se trabajará con métodos para dibujar representaciones de perspectiva y contorno para las funciones de distribución y densidad.

1. INTRODUCCIÓN

Las cópulas se han convertido en una herramienta popular para la construcción de modelos multivariados en campos donde hay un gran interés por la dependencia multivariada; más específicamente, han sido utilizadas en campos tan variados como en medicina, para modelar el número de casos mensuales de una enfermedad casi erradicada, por ejemplo, la poliomielitis [1]; en ciencias actuariales, para modelar la mortalidad y las pérdidas dependientes [2,3]; en finanzas, para análisis y gestión de riesgos [4,5]; en estudios biomédicos, en el modelado de tiempos de eventos correlacionados y riesgos competitivos [6], y en ingeniería, en el control de procesos multivariados y en el modelado hidrológico [7].

En [8] se describen las cópulas como “... funciones de distribución multivariada que unen o ‘copulan’ sus funciones de distribución marginales unidimensionales”, y como “... funciones de distribución multivariada cuyas marginales unidimensionales son uniformes en el intervalo [0,1]”. Las cópulas son muy útiles a la hora de derivar distribuciones conjuntas, conociendo las distribuciones marginales, especialmente cuando las variables son no normales; por otro lado, se utilizan en un contexto bivariado para definir medidas no paramétricas de dependencia [9].

Una idea más formal de lo que es una cópula se da al considerar un par de variables aleatorias X y Y confunciones de distribución marginales F(x)  =P [X ≤ x] y G (y) = P[Y ≤ y], respectivamente, y función de distribución conjunta H (x,y) = P [X ≤ x, [Y ≤ y]. Ahora bien, al par de números (x,y) se le puede asociar tres números F (x), G (y) y H (x,y), donde cada uno de ellos pertenece al intervalo [0,1], es decir, a cada (x,y) le corresponde un punto (F(x),G(y)) en el espacio producto [0,1]×[0,1], y a este par ordenado le corresponde un número H(x,y) en [0,1] (ver [8]).