Ideales en el Anillo de Polinomios Torcidos R[x;σ,δ]

Ideals in the Skew Polynomials Ring R[x;σ,δ]

El presente artículo busca presentar el Teorema de la Base de Hilbert en el anillo de polinomios torcido, algunas clases de ideales que se definen en dicho anillo y qué condiciones son necesarias para que este sea semiprimitivo, además se dan algunos ejemplos de las definiciones para su mejor comprensión. Las demostraciones son tomadas de algunas referencias citadas en el artículo; justificando algunos pasos omitidos en estos textos.

1.PRELIMINARES

El estudio de los anillos de polinomios torcidostiene su origen en los trabajos de Noether y Schmeidler en 1930, quienes inicialmente los consideraron como anillos de Ore en el contexto de las ecuaciones diferenciales, y como operadores sobre cuerpos finitos.

Resulta interesante estudiar el estado del arte relacionado con los ideales de dicho anillo, es decir, qué relaciones se conservan tomando como referencia el anillo de polinomios clásico y qué condiciones son necesarias para que el anillo de polinomios torcido sea semiprimitivo.

Sea R un anillo con identidad, y sea σ : R → R un endomorfismo de R. Se dice que δ : R → R es una σ−derivación de R si δ es una función aditiva y si r y s son elementos de R, entonces δ(rs) = σ(r)δ(s)+δ(r)s

A continuación se muestra la construcción del anillo de polinomios torcidos a través de un endomorfismo de anillos σ y una σ−derivación δ, dicha construcción es tomada de [2]:

Los anillos de polinomios torcidos pueden ser vistos como los anillos de polinomios sobre R con la indeterminada x donde los coeficientes no necesariamente conmutan con x, es  decir, x·r ≠ r·x; induciéndose, de esta forma, la no conmutatividad de ésta clase de anillos.

 Estos anillos satisfacen las siguientes propiedades:

i) Cada polinomio se expresa de forma única como una suma finita ∑_ir_ixⁱ, con r_i ∈ R

ii) xr = σ (r)x+δ(r), para algunos σ (r), δ(r) ∈ R, con r ∈ R, es decir, xr ∈ Rx + R.

Ya que el anillo debe satisfacer que x(r+s) = xr + xs y que x (rs) = (xr)s, se tiene que:

σ(r+s)x+δ(r+s)=x(r+s)=xr+xs=

(σ(r)x+δ(r))+(σ(s)x+δ(s));

σ(rs)x+δ(rs)=x(rs)=(xr)s=

σ(r)σ(s)x+σ(r)δ(s)+δ(r)s