Ecuaciones Holonómicas Asociadas a Transformaciones Canónicas del Peso Clásico de Laguerre

Holonomic Equations Associated to Canonical Transformations of the Classical Laguerre Weight

En este artículo se usan técnicas estándar para encontrar ecuaciones diferenciales satisfechas por polinomios ortogonales asociados a transformaciones canónicas del peso clásico de Laguerre ω(x)=e^−xx^α, sobre(0,∞),con α >−1.

1. INTRODUCCIÓN

Sea {pn(x)}n∈N la sucesión de polinomios mónicos ortogonales con respecto al peso clásico de Laguerre ω(x)=e−xxα sobre (0,∞), con α >−1. En este escrito estamos interesados en estudiar propiedades diferenciales de los polinomios ortogonales con respecto a los pesos ρ(x)ω(x), ρ∗(x)ω(x) yρ∗∗(x)ω(x) donde $\rho (x)=\frac{x-\zeta }{x-\eta },\rho \ast (x)=(x-\zeta 1)(x-\zeta 2)$ y $\rho \ast \ast (x)=\frac{1}{x-\eta },$ además ζ, ζ1, ζ2 y η son reales negativos. Estas perturbaciones al peso original son conocidas como transformaciones canónicas de tipo Christoffel o Geronimus, y las familias de polinomios ortogonales asociadas a estas han sido ampliamente estudiadas en las últimas décadas, destacando los trabajos [4], [6], [7], [8], [9], [14] y [15], en esencia, relacionados con comportamiento asintótico y localización de ceros. Es bien sabido que las sucesiones clásicas de polinomios ortogonales satisfacen una ecuación diferencial de la forma

​$\sigma (x)p\prime \prime (x)+\tau (x)p\prime (x)+\lambda np(x)=0,$

donde σ(x) yτ(x) son polinomios tales que el grado de σ(x) no es mayor a 2 y el de τ(x) es exactamente 1. Esta particularidad es de hecho una característica única de tales sucesiones clásicas. De este modo, resulta interesante estudiar qué tipo de ecuaciones diferenciales (conocidas en la literatura como ecuaciones holonómicas) son satisfechas por los polinomios asociados a las perturbaciones descritas anteriormente, y analizar la naturaleza de sus coeficientes. El conocimiento de la estructura de las ecuaciones diferenciales de segundo orden satisfechas por familiasde polinomios ortogonales es la piedra angular en la descripción de modelos electrostáticos asociados a los ceros de tales polinomios (ver [5], [10] o [12]). Son muy conocidas las técnicas estándar que son aplicadas en la obtención de ecuaciones holonómicas asociadas particularmente a perturbaciones del peso clá sico, por ejemplo, con las llamadas perturbaciones de Uvarov (ver [2], [3], [11]) o con la perturbación canónica de Christofel ρ(x)=x−ζ al peso de Laguerre ([7]). Nuestro objetivo es adaptar esas técnicas para buscar ecuaciones holonómicas asociadas a las perturbaciones sobre el peso clásico de Laguerre, ya mencionadas. En este sentido, la estructura de este escrito es como sigue. En la sección 2 presentamos los preliminares básicos con respecto a los polinomios de Laguerre clásicos, los cuales nos resultarán muy útiles más adelante; en la sección 3 obtenemos la ecuación holonómica satisfecha por los polinomios asociados a perturbaciones de tipo Geronimus, y en la sección 4 hacemos lo propio con perturbaciones de tipo Christofel.