Simplified Model of the Catastrophe Theory for the Landslides Study

Modelo simplificado de la teoría de la catástrofe para estudiar los derrumbes

En muchos problemas del mundo real, las simetrías del sistema son solo una aproximación, los parámetro involucrados en tales sistemas generan una imperfección, en la cual convergen diferentes tipos de bifurcación, conduciendo a situaciones críticas, denominadas catástrofes. En el modelo dinámico de una cuenta sobre un alambre en posición inclinada y suspendida, el sistema representa una condición catastrófica, que para estudiarse y analizarse fue necesario utilizar las teorías de la bifurcación y las catástrofes. Los resultados pueden compararse con el mundo real, mediante el modelo cualitativo del derrumbe, causado por una situación de invierno.

1. INTRODUCCIÓN

En el estudio de un sistema dinámico de bifurcación, se clasifican los cambios en el comportamiento que surgen de las variaciones de un sistema dado, [1, 2, 3]. La naturaleza cualitativa que representan las soluciones, dependen de los parámetros que aparecen en este [2], dando lugar a cambios drásticos que permiten la aplicación de la teoría de catástrofes, la cual fue originada por el trabajo del matemático francés René Thom a principios de los años setenta [4, 5, 6] y es considerada como una teoría topológica, que si bien no proporciona descripciones y predicciones cuantitativas, sí proporciona algunas descripciones y predicciones cualitativas, basadas en las geometrías del espacio, que no tienen una magnitud específica, ni una escala determinada [7, 8, 9].

La teoría de catástrofes también se ocupa de las irregularidades y rupturas, que son apropiadas en el análisis de un sistema, donde la única observación disponible son las discontinuidades generadas por los parámetros que intervienen en las variaciones del sistema [2, 10], como en el caso de un cable suspendido en una línea recta, con un ángulo de inclinación determinado, que dependiendo de las variaciones de algunos parámetros controlados, puede alterar el estado de equilibrio del sistema, provocando un cambio brusco y repentino, que produce una catástrofe, que se asemeja a un desprendimiento en un sistema real. El estudio de la catástrofe se realiza, a partir de un modelo de catástrofe de cúspide, correspondiente a los siete tipos elementales de catástrofes de René Thom [4, 6, 11, 12].

2. Modelo dinámico de una cuenta suspendida y deslizante sobre un alambre inclinado

El sistema consiste en una cuenta de masa m, suspendida sobre un alambre recto inclinado, que es forzada a deslizarse con un ángulo θ respecto a la horizontal. La cuenta está unida a un muelle de elasticidad constante κ y de longitud L₀, y es actuada por la fuerza de la gravedad.