Discretización en diferencias finitas de la ecuación de Laplace y Poisson. Aplicación a un anillo circular (dona)

Finite Difference Discretization of the Laplace and Poisson Equations. Application to the Anular Ring (donut)

Entre los métodos de solución numérica más comunes para ecuaciones diferenciales parciales (EDP) se encuentran el método de las diferencias finitas y el método de los elementos finitos, que se acercan a la solución real a través de un algoritmo de convergencia de manera eficiente y acertada. Muchos de los fenómenos físicos que se pueden estudiar mediante estas técnicas obedecen su comportamiento a las EDP’s de Laplace y de Poisson, sobre las que se pueden restringir diferentes condiciones iniciales y de frontera, para limitar las soluciones de la ecuación. Este trabajo muestra la aplicación del método de diferencias finitas con un manejo sencillo de la discretización del dominio y, así mismo, un manejo sencillo de las condiciones de frontera sobre varios dominios, principalmente sobre dominios del tipo anillo o “dona”, mostrando resultados interesantes al seleccionar condiciones de frontera del tipo Dirichlet.

1 INTRODUCCIÓN

Cuando se quiere enseñar métodos numéricos para la solución de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) en las áreas de matemáticas, física e ingeniería, existe una tendencia común a resolver problemas sobre dominios simétricos con condiciones de frontera del tipo Dirichlet y Neumann. Las EDP sobre las cuales se trabaja normalmente son la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson, las cuales aparecen en áreas de la ciencia como la electricidad, conducción de calor y flujo de fluídos, por lo que resolverlas a través de métodos numéricos reviste un interés importante. Los métodos numéricos más comunes para la solución de estas EDP son el método de diferencias finitas y el método de elementos finitos, aplicados sobre dominios rectangulares [1, 6] o circulares [1].

Este trabajo está dirigido a implementar el método de diferencias finitas para la solución de la ecuación de Laplace sobre un dominio en forma de anillo circular o “dona”, que representa un reto adicional y que permite mostrar una técnica del manejo de la frontera y sus condiciones.

2 MODELAMIENTO MATEMÁTICO

El modelamiento matemático de la ecuación de Laplace comienza con plantear la ecuación general de Poisson, que es la ecuación 1, para proceder a utilizar la técnica de diferencias finitas que permite transformar las derivadas parciales en diferencias entre puntos discretos del dominio. Para esto proyectamos resolver un problema que en el dominio espacial es tridimensional (3D), pero que por facilidad del trabajo lo haremos bidimensional (2D).