Dynamics of a System Associated with a Piecewise Quadratic Family

Dinámica de un sistema asociado a una familia cuadrática a tramos

Presenta un estudio analítico y numérico de la dinámica de un sistema discreto asociado a una familia cuadrática a tramos; se caracterizan las órbitas de período uno y dos, así como su estabilidad; se muestra la presencia del fenómeno no suave, conocido como bifurcación por colisión de borde cuando ocurre un doblamiento de período. Se hallaron numéricamente los exponentes de Lyapunov para detectar la presencia de caos en el sistema.

1. INTRODUCCIÓN

Fenómenos físicos como los osciladores de impacto y los circuitos electrónicos conmutados, entre otros, han estimulado el estudio de los sistemas dinámicos lisos a trozos.  Estos sistemas se caracterizan por la partición del espacio de estados en regiones determinadas por espacios vectoriales lisos, pero presentan discontinuidades en las fronteras entre dichas regiones, que convierten el espacio de estados en un espacio vectorial no liso, como ha sido estudiado por varios autores [1]-[4]. Esta falta de suavidad explica la inducción de fenómenos como las bifurcaciones de colisión de fronteras, que aparecen en ciertos sistemas dinámicos discretos [5]-[7] y sistemas continuos [8]-[9], y en sistemas más complejos como los convertidores Boost DC-DC, en los que una acción de conmutación de encendido y apagado divide el espacio de estado en dos regiones. Las bifurcaciones de colisión de frontera aparecen en algunos sistemas en los que la bifurcación debida a la duplicación del periodo también está presente [10]-[13], que es la situación estudiada en este trabajo.

El trabajo está organizado de la siguiente manera: en la Sección 2, se encuentran analíticamente los puntos fijos, los 2 ciclos y sus respectivas bases de atracción.  En la Sección 3, se encuentra el diagrama de bifurcación y se analiza la bifurcación de colisión de frontera presente en el sistema cuando se produce una duplicación de período.  También se realiza un análisis comparativo para las bifurcaciones en el sistema que son atribuibles a la duplicación de periodo habitual. En la sección 4, se encuentran los exponentes de Lyapunov para determinar la presencia de caos en el sistema.

2. Modelo dinámico y puntos fijos

En este trabajo se considera el sistema dinámico X_n+1= f (X_n) asociado a la función:

​$f(x)=\{\begin{array}{ll}\mu (1-x^2)& \text{if }x<0\\ \mu (x^2-1)& \text{if }x>0\end{array}$

y tomamos μ>0 como parámetro de bifurcación.