Teaching and Implementation of the Hartree-Fock-Roothaan method for determining effective mass

Enseñanza e Implementación del método Hartree-Fock-Roothaan para determinar masa efectiva

Una explicación de los fenómenos asociados al comportamiento de los electrones ned en una celosía periódica se propone en este documento. La dinámica de los electrones se puede determinar de manera más precisa usando la aproximación efectiva masiva. Lo haremos usando el método Hartree-Fock-Roothaan Enfatizando su utilidad en sistemas típicos que requiere este modelo para estos cálculos. Una explicación y aplicación directa de este método a un problema específico de física se muestra en este documento.

1. INTRODUCCIÓN

Los problemas que caen bajo el régimen cuántico tienen gran implicación y aplicación en muchas áreas tecnológicas, esto es bastante claro a la luz del hecho de que la mayor parte de la evolución tecnológica está estrechamente ligada a la cada vez mayor comprensión de la mecánica cuántica. Por ello, la dinámica de un electrón, en una red periódica y cristalina infinita es de gran interés desde la perspectiva cuántica, debido a que la dinámica de este electrón exhibe un interesante comportamiento que puede contribuir a mayores avances en diferentes áreas de la tecnología. El problema se resolverá utilizando el método autoconsistente de Hartree-Fock-Roothaan [1]-[6], que es una potente herramienta para resolver problemas complejos. Previamente, daremos una introducción a las teorías HFR y Bloch, que dan cuenta de la dinámica de este electrón.

2. MÉTODOS

2.1. Teoría de Hartree-Fock y ecuación de Roothaan

La solución de los problemas de la mecánica cuántica, en el régimen no relativista y estacionario, se basa en la solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, que es la encargada de establecer todas las propiedades del sistema ˆH ψ = E ψ, donde ˆH es el operador Hamiltoniano, que establece todas las interacciones del sistema, ψ es la función de onda normalizada, y E es el valor propio de la energía, que se adquiere como consecuencia de la medición del operador Hamilton en el sistema [1]-[3]. Aunque esta ecuación toma diferentes formas, según el sistema estudiado, con el aumento de la complejidad de este sistema, se vuelve cada vez más compleja, llegando al punto de que su solución no posee una forma analítica, y con esto, es más viable no utilizar directamente la ecuación para su solución, sino aplicar el principio variacional a la solución de los problemas. Esto establece que el valor esperado del operador de Hamilton, tiene como valor propio, la energía en el estado base, y su variación se realiza para encontrar aquellos valores de energía que minimizan la integral de acción [6]-[8].