Estimación del cardinal del espectro maximal de un producto de cuerpos

Estimation of the cardinality of the maximal spectrum of a product of fields

En este artículo presentamos propiedades generales de un producto de anillos conmutativos con unidad. Caracterizamos el espectro primo y maximal de una suma de anillos y probamos que el espectro de un producto de cuerpos es T₁, o equivalentemente, que es Hausdorff. Por último, estimamos el cardinal del espectro maximal de un producto de cuerpos.

1. INTRODUCCIÓN

Sean R¡ y R ₂ anillos conmutativos con unidades e₁ y e₂ respectivamente. El producto cartesiano R₁ χ R₂ tiene estructura de anillo con las operaciones suma y producto componente a componente:

​$(f_1,f_2)+(g_1,g_2):=(f_1+g_1,f_2+g_2),$

$(f_1,f_2)\cdot (g_1,g_2):=(f_1{g}_1,f_2{g}_2).$

Además, R₁^XR₂ es un anillo conmutativo con unidad e = (e₁, e₂). Todo producto cartesiano, R₁ xR₂ tiene asociado sus proyecciones​

​${\pi }_i:R_{1}X{R}_2\to R_i$

$(f_1,f_2)\mapsto f_i$

con i = 1, 2.

Por otra parte, el producto cartesiano X₁ x X₂ de los conjuntos X₁ y X₂ satisface la propiedad universal: para todo conjunto Z y para todas las aplicaciones φι : Ζ → X ₁ y φ ₂ : Ζ → X₂, existe una única aplicación φ : Ζ → Χ ₁ x Χ ₂ tal que φ ₁ = π₁ ο φ, φ ₂ = π₂ o π. El producto cartesiano R₁ χ R₂ de los anillos R₁ y R₂ satisface la propiedad universal análoga en la categoría de anillos conmutativos. Por tanto, el producto cartesiano de anillos conmutativos es también producto en el sentido de categorías (véase [6]).​​

Al igual que en conjuntos, podemos considerar el producto cartesiano de una familia de anillos: sea I un conjunto arbitrario y {R _i } _{i ∈I} una familia de anillos conmutativos con unidad, su producto cartesiano Π _{i ∈I}Ri es un anillo conmutativo con unidad con las operaciones suma y producto componente a componente. El producto cartesiano Π _{i ∈I} Ri satisface la propiedad universal del producto.

En la categoría de anillos conmutativos se tiene también un producto directo y una suma directa de anillos. Es decir, dada la familia de anillos {R _i } _i∈i , existe un anillo R = Π _{i ∈I} Ri junto con los homomorfismos de anillos : i i : R i →R,i∈ I, tal que para todo anillo S y para todos los homomorfismos φ _i : R _i → S, existe un único homomorfismo φ _i : R → S con φ _ί = φ o i _ί (véase [1,2,6]).

La suma directa de la familia anterior es el conjunto