Algunas propiedades homológicas del plano de Jordan

Some homological properties of Jordan plane

El plano de Jordan puede ser visto como un álgebra cociente, como una extensión de Ore graduada y como una extensión PBW torcida graduada. Usando estas interpretaciones, se muestra que el plano de Jordan es un álgebra Artin-Schelter regular y Calabi-Yau torcida, además se calcula de forma explícita su automorfismo de Nakayama.

1. INTRODUCCIÓN

Existen varias versiones sobre el origen del plano de Jordan: en [2] afirman que el plano de Jordan fue definido por primera vez en [10]; posteriormente en [3] afirman que la denominación de Jordan proviene de [5]; otros autores afirman que el plano de Jordan lo introdujo Korenskii en [13]. El plano de Jordan aparece en diferentes contextos en matemáticas y física y es uno de los ejemplos básicos en los orígenes de la geometría algebraica no conmutativa, siendo uno de los ejemplos básicos de anillos graduados no conmutativos de crecimiento cuadrático. En 1987 Artin y Schelter definieron las álgebras Artin-Schelter regulares (véase [4]) y afirmaron que el plano de Jordan (sin darle este nombre) es una de las dos álgebras regulares de dimensión global dos. Las álgebras Calabi-Yau fueron introducidas por Ginzburg en [7] y posteriormente hicieron una generalización de estas álgebras, denominadas álgebras Calabi-Yau torcidas. Las extensiones PBW torcidas fueron definidas por Gallego y Lezama en [6].

El plano de Jordan ha sido ampliamente estudiado, por ejemplo: es el álgebra de Nichols asociada a un espacio vectorial trenzado de dimensión 2 en la categoría de módulos de Yetter-Drinfeld con dimensión de Gelfand-Kirillov 2, se conocen sus representaciones, su homología y cohomología de Hochschild, entre otras propiedades (véase por ejemplo [1,2,3,12,18]). Esta es un álgebra de Koszul (véase [23], página 208), Artin-Schelter regular (véase [4], página 172) y es un álgebra Calabi-Yau torcida que no es Calabi-Yau (véase [17]). Aunque estos resultados son ampliamente conocidos en la literatura (véase por ejemplo [4,17,21,22,24]), el objetivo de este artículo es mostrar que el Plano de Jordan satisface tales propiedades usando el hecho que tal álgebra puede presentarse como una extensión de Ore (véase [17], página 16) y como una extensión PBW torcida (véase [25], página 185). Las álgebras de Koszul, Artin-Schelter regulares, Calabi-Yau y las extensiones PBW torcidas juegan un papel importante en estudios recientes, especialmente en geometría algebraica no conmutativa (véase por ejemplo [16,21]).