Estimación del VaR mediante un modelo condicional multivariado bajo la hipótesis α-estable sub-Gaussiana

A conditional approach to VaR with multivariate α-stable sub-Gaussian distributions

El objetivo de esta investigación es proponer un modelo de volatilidad multivariable, el cual combina la propiedad de la distribución α-estable para ajustar colas pesadas con el modelo GARCH para capturar clúster de volatilidad. El supuesto inicial es que los rendimientos siguen una distribución sub-Gaussiana, la cual es un caso particular de las distribuciones estables multivariadas. El modelo GARCH propuesto se aplica en la estimación del VaR a un portafolio compuesto por cinco activos que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores (BMV). En particular, se compara el desempeño del modelo propuesto con la estimación del VaR obtenida bajo la hipótesis multivariada Gaussiana, t-Student y Cauchy durante el período de la crisis financiera de 2008.

INTRODUCCIÓN

El objetivo de la presente investigación es describir a grandes rasgos la teoría de las distribuciones estables multivariadas, con el objetivo de estimarun modelo GARCH multivariado estable sub-Gaussiano,que posteriormente se aplica en la estimación del VaR de un portafolio.

El creciente interés en el uso de las distribuciones α-estable o establesha sido motivado por sus diversas aplicaciones a problemas prácticos, entre ellos, su aplicación en el modelo de portafolios financieros. A partir de los trabajos seminales de Mandelbrot (1963) y Fama (1965), los modelos estables que describen los rendimientos de activos financieros han ido ocupando un lugar prominente tanto en estadística como en la literatura financiera (por ejemplo:Rachev y Han, 2000; Mittnik y Rachev, 1989,Rachev y Mittnik, 2000;Panorska, Mittnik y Rachev, 1995; Mittnik, Rachev y Paolella, 1997).

Las distribuciones estables son de interés, debido a que el Teorema del Límite Central Generalizado afirma que el único límite no trivial de sumas de variables aleatorias normalizadas independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.), es estable. Es decir, los vectores aleatorios estables poseen la propiedad que cualquier combinación lineal de sus componentes es α-estable, lo cual es una característica muy útil en la teoría de portafolios, ya que bajo el supuesto de que los rendimientos de los activos siguen una distribución estable conjunta, entonces el rendimiento de cualquier portafolio de estos activos también sigue una distribución α-estable.

Por otro lado, en el manejo de riesgos, el principal interés es modelar el caso extremo de las posibles pérdidas. A partir de las investigaciones empíricas, sabemos que una pérdida extrema en un activo, muy a menudo conduce a altas pérdidas en muchos otros activos. Este comportamiento del mercado no puede ser modelado por la distribución normal, pero con ciertas distribuciones elípticas, como por ejemplo, la distribución α-estable sub-Gaussiana, podemos capturar este comportamiento.