Desarrollo del motor de cálculo Conden 1.0 en diferencias finitas para modelar problemas electrostáticos 2D

Development of the software Conden 1.0 in finite differences to model electrostatics problems 2D

El presente trabajo consiste en el desarrollo e implementación del método de diferencias finitas por sobrerrelajación, adaptado a mallas irregulares para determinar la influencia de las fronteras de aire sobre los valores de potencial y campo eléctricos, calculados dentro de un condensador de placas paralelas, empleando GID como plataforma de pre/ postproceso y Fortran como lenguaje de programación del motor de cálculo de diferencias Conden 1.0. El dominio del problema está constituido por dos rectángulos que representan al condensador y a la capa de aire que lo cubre, divididos en mallas rectangulares no uniformes.

INTRODUCCIÓN

EI método de las diferencias finitas es una técnica numérica simple que se emplea para resolver ecuaciones diferenciales parciales. Una solución de diferencias finitas a la ecuación de Poisson o de Laplace de obtiene en dos pasos. Primero aproximándose a la ecuación diferencial y a las condiciones en la frontera por medio de un grupo de ecuaciones algebraicas lineales llamadas ecuaciones de diferencias, en los puntos de una cuadrícula situada dentro de la región de la solución, y segundo, resolviendo este grupo de ecuaciones algebraicas. En el presente trabajo se aplica el método de diferencias finitas para determinar la in­fluencia de las fronteras de aire sobre los valores de potencial y campo eléctricos, calculados dentro de un condensador de placas paralelas. En este artículo se hace una descripción completa del problema, su implementación en GID y el uso del programa de diferencias.

Dada la restricción en la extensión de este documento, se presenta un solo modelo; sin embargo, el motor de cálculo Conden 1.0 se probó en varios de ellos y se comparé satisfactoriamente con las soluciones halladas  mediante  el  módulo  de  solución de ecuaciones diferenciales por elementos finitos Pdetool  de Matlab.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Ecuaciones matemáticas

Fundamentalmente, el problema de campo entre dos placas paralelas es electrostático; por tanto, se sintetiza en las siguientes dos ecuaciones de Maxwell para el campo eléctrico, particularizadas al caso estacionario: 

∇ D= ρ_v            (1.1.1)

∇ Ē = 0             (1.1.2)

donde P. es la densidad cúbica de carga (Coulomb/m³), D es la densidad de flujo eléctrico (Coulomb/m²) y Ē es la intensidad de campo eléctrico (Voltios/m). Ambos vectores se relacionan a través de la permitividad del medio ε (Farad/m), así:

D = εĒ         (1.1.3)