Análisis del regeneramiento óseo bajo el esquema de optimización topológica

Analysing bone regeneration using topological optimisation

El objetivo fundamental del presente artículo es presentar la fundamentación matemática de la optimización topológica para llevar a cabo el estudio del regeneramiento óseo. La estructura ósea posee la capacidad de adaptarse de forma económica (con un "mínimo" de masa y "alta" resistencia) a diversas solicitaciones mecánicas, lo cual responde a modelos de optimización topológica. Dichos esquemas de análisis son esenciales para la formulación de la terapia física en pacientes que necesiten fortalecer parcial o totalmente la estructura del tejido de algún hueso en particular. Inicialmente se formula el modelo matemático y sus métodos de solución.

Introducción

La estructura ósea posee la capacidad de adaptarse de forma económica (con un "mínimo" de masa y "alta" resistencia) a diversas solicitaciones mecánicas. El análisis del regeneramiento del tejido óseo ha sido formulado bajo tres enfoques: el de Optimización Topológica (también llamado Optimización de forma, donde se estable ce el estado objetivo del tejido ante las solicitaciones de carga), el enfoque fenomenológico (donde se busca establecer la relación existente entre estímulo y respuesta de forma cuantitativa para predecir la adaptación del hueso ante cargas mecánicas instantáneas), y el enfoque mecanicista (el cual estudia la adaptación ósea desde la biología celular y molecular, centrando su análisis al nivel del tejido).

Optimización Topológica: teoría matemática

A. Introducción

El objetivo fundamental de la optimización topológica es encontrar la distribución de masa en una estructura que está sometida a condiciones de carga y restricciones de frontera específicas, de tal forma que cumpla con una función objetivo que se debe optimizar.

La cantidad de material y su distribución está limitada en  el dominio de diseño: Ω, el dominio mencionado puede contener regiones con material o con vacíos que no pertenecen al análisis, y por tanto, se denominan regiones pasivas. A diferencia del dominio pasivo, el dominio activo debe ser optimizado bajo una función (objetivo).

Para la solución del problema de optimización se considera un dominio bidimensional y teoría de elasticidad lineal (ver figura 1).

Método de elementos finitos

El método de elementos finitos es un procedimiento numérico para el análisis de fenómenos que transcurren en un dominio continuo. En este método se requiere hallar la solución a problemas de valor en la frontera con condiciones iniciales, asumiendo que el dominio se divide en subdominios, los cuales se denominan elementos, y que la función desconocida de una variable de estado se define en forma aproximada en cada uno de los elementos. Con estas funciones que son definidas individualmente para cada elemento y en conjunto con los demás subdominios unidos a través de nodos (los cuales se encuentran en la interfase de los elementos), se aproxima la solución del problema.