Aplicación de técnicas de optimización para la validación de un modelo numérico de acuíferos inconfinados

Applying optimisation techniques for validating a numeric model of free aquifers

Con el presente trabajo se desarrolla una alternativa para determinar el nivel de abatimiento de agua en acuíferos inconfinados, empleando las técnicas de optimización que están disponibles en el programa comercial de elementos finitos ANSYS.³ Las variables de diseño se definen paramétricamente por medio de las coordenadas verticales o cotas de unos puntos clave, que se interconectan por medio de splines para aproximar la superficie libre. Las variables de estado son los valores de temperatura en los puntos clave, que por analogía térmica son análogos a la cabeza de fluido. La función objetivo es el valor absoluto de la diferencia entre las coordenadas verticales y los valores de temperatura calculados en los puntos clave. Con la verificación de estas técnicas en la determinación de la posición de la tabla de agua en el problema de acuíferos libres, se está dando solución al problema de la superficie libre en presas de materiales sueltos y por qué no, a otro tipo de problemas, como los de mecánica de fluidos (por ejemplo, el de flujo en canales o el de oleaje), que aunque son problemas bien diferentes al de medio poroso, la solución sí que es altamente no lineal, y se requiere de técnicas robustas para aproximarse suficientemente al comportamiento real del fenómeno.

Marco teórico

El problema de filtración en un medio poroso en condiciones estacionarias se puede plantear matemáticamente mediante la ecuación de Laplace o la de Poisson, usando como variable de trabajo la altura piezométrica:

∇^TK∇h+Q=0   (1)

donde h es la altura piezométrica y Q es una función que representa una fuente o un sumidero (una entrada  o salida puntual de agua), y que en la mayoría de los problemas suele ser cero. K es la permeabilidad del medio, que en muchos casos se considera un escalar constante. Por otra parte, ∇h representa el operador divergencia, ∇ y el operador gradiente. En el caso de permeabilidad constante (suelo homogéneo e isótropo a efectos de flujo), y en ausencia de fuentes y/o sumideros, la expresión (1) da lugar a la conocida ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas:

Esta ecuación se puede resolver directamente  con  algunos de los programas comerciales que resuelven la ecuación de Laplace (2), o la de Poisson (1). En ambos casos   será necesario definir las condiciones de contorno apropiadas, que normalmente son de tipo Dirichlet (altura piezométrica impuesta) o de tipo Neumann (derivada de    la altura piezométrica impuesta), o en algunos casos pue de ser una combinación de ambas.

Sistema de ecuaciones resultantes

El problema matemático planteado se puede expresar mediante la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales y las siguientes condiciones de contorno:

∇^TK∇h+Q=0

-(K∇h)^Tn-q=0     ⁽³⁾

donde n es un vector unitario normal a un contorno por el que sale o entra agua. La condición de contorno segunda expresión de (3) representa que el caudal en la dirección definida por el vector n, vale q.