Programación lineal flexible con restricciones difusas

Flexible linear programming with fuzzy constraints

El presente trabajo tiene como objetivo presentar los conceptos básicos de la programación lineal flexible o programación lineal con restricciones difusas. Dado que la literatura presenta dicha metodología para restricciones de desigualdad, se formula una metodología para restricciones de igualdad y de caja. Se muestra cómo un problema de este tipo equivale a uno de optimización paramétrica. Finalmente, se presentan dos ejemplos ilustrativos en los cuales se muestra la ventaja de la metodología al mejorar la solución óptima y, por otro lado, la obtención de una región factible en problemas con espacio de soluciones vacío.

Introducción

En muchos modelos de optimización, la solución obtenida puede no ser satisfactoria para quien toma decisiones, y por eso se hace necesario generar nuevos modelos, con el objetivo de alcanzar las diversas metas trazadas. Esto se puede lograr aumentando la capacidad de producción o inventario de algún artículo o producto, incrementando o disminuyendo la demanda, elevando la capacidad de carga o transporte, entre otros. Por otro lado, cuando se realiza la modelación matemática en el sector industrial por medio de optimización, debido a la cantidad de parámetros y restricciones, en muchos casos no es posible encontrar una solución factible. Por lo expuesto anteriormente, se presenta una metodología de optimización flexible u optimización con restricciones difusas que permite dar solución a dichos problemas a través de la “flexibilización” de las restricciones. Para tal efecto, se hace la descripción de un método usual de optimización difusa que convierte el problema original en un modelo de optimización paramétrica. En la mayoría de la literatura se describe dicha técnica para restricciones de desigualdad (Cárdenas y Verdegay, 1999; Jaroslav, 2001). El presente documento también propone una formulación para restricciones de igualdad y restricciones de caja para las variables de decisión.

Las restricciones de igualdad son muy importantes en modelos de programación lineal como transporte y planeación de  la producción, donde se debe cumplir con una demanda determinada (Taha, 2004), problemas de inversión y mezcla de productos (Winston, 2005), distribución de bienes, flujo máximo, problema del agente viajero, entre otros, donde es necesario modelar ecuaciones de balance (Taha, 2004; Winston, 2005). Las restricciones de caja son muy comunes en todos los modelos reales de optimización. Por ejemplo, capacidad máxima y mínima de inventario, producción y transporte. En problemas de inversiones es natural tener una restricción de cantidad mínima y máxima de inversión  en cada u na de las opciones. En los modelos de flujo máximo siempre se debe suponer que entre los arcos existe una capacidad máxima y mínima de flujo, entre otros (Winston, 2005). Inicialmente se presentan algunos preliminares. Luego se describe la metodología  para encontrar  la solución de problemas  de optimización lineal flexible, y finalmente, la se presenta algunos ejemplos ilustrativos de la teoría desarrollada.