Aplicación del método de elementos naturales a problemas estructurales

Natural elements’ methods applied to structural problems

El objetivo del presente artículo se enmarca en la revisión de la teoría y la implementación numérica de uno de los métodos numéricos sin malla usados para la solución de problemas de tipo estructural, el método de los elementos naturales (MEN), junto con la contrastación de los resultados obtenidos para dos problemas estructurales elástico-lineales en dos dimensiones con la solución analítica exacta y la aproximada por el método de los elementos finitos (MEF). Se describe la técnica de interpolación usada por el MEN para obtener las funciones de forma y se presentan las características más importantes del método en su forma estándar. Se presentan los resultados de dos simulaciones de problemas estructurales realizadas usando un código escrito en Matlab 6.5 para la solución de ecuaciones diferenciales de elasticidad lineal en dominios bidimensionales. Se concluye que el método de los elementos naturales es similar al de los elementos finitos en cuanto a estabilidad y convergencia, con la ventaja de que la malla es generada automáticamente y la no dependencia de la solución aproximada con la distribución de la nube de puntos que define la geometría.

Introducción

Existen numerosos métodos numéricos en ingeniería que permiten solucionar problemas estructurales, de mecánica de fluidos, de transferencia de calor, etc., satisfactoriamente, sin importar la linealidad del modelo o la complejidad de la geometría. El de los elementos finitos, de diferencias finitas, y los espectrales, son solo una muestra de los diferentes métodos numéricos usados para la solución de ecuaciones diferenciales de ingeniería (Dunn et al., 2006; Ollivier-Gooch, 2003; Coz Diaz et al., 2007; Prabhakar y Reddy, 2006; Griffiths, 1991).

Generalmente estos métodos necesitan de una malla bien definida que debe cumplir ciertos requisitos de regularidad y de forma (Cueto, 2001; Sukumar,1998). Desde hace ya va rios años se han venido desarrollando algunos conocidos  como métodos sin malla (Cueto, 2003; Doblare et al., 2005), que disminuyen las restricciones sobre las mallas que deben ser usadas para la solución de las ecuaciones en el dominio   de interés, o que permiten la definición de la geometría  des de una nube de puntos, a través de la cual se determina la malla automáticamente (Pena et al., on line, 2008). El  método de los elementos naturales (MEN) es un representante de este grupo y se caracteriza  por ser una técnica  interpolante  (es decir, la superficie de solución pasa por los valores nodales de la variable aproximada), a diferencia de otros métodos sin malla en los que se calculan los valores nodales de la variable incógnita, pero la superficie de solución aproximada no pasa por estos valores nodales (Cueto, 2003; Doblare  et  al., 2005).  En los últimos  años el MEN ha sido usado en un  sin número de aplicaciones de ingeniería (como se puede ver en (Cho y Lee et al., 2007; Hajri et al., 2007; Alfaro et al.,  2006), en la Figura 1 se puede apreciar un ejemplo de la aplicación del método para la aproximación de la distribución  de temperaturas a lo largo del tiempo en un proceso de extrusión de un perfil de aluminio.