Implementación del método de estabilización de Petrov-Galerkin en contracorriente para la solución numérica de problemas altamente advectivos

The streamline upwind Petrov-Galerkin stabilising method for the numerical solution of highly advective problems

El presente artículo describe el método Petrov-Galerkin en contracorriente (SUPG) como técnica de estabilización de las soluciones por elementos finitos de la ecuación diferencial de difusión –advección- reacción. En la primera parte del artículo se hace un breve análisis de la importancia de este tipo de ecuaciones diferenciales para el modelado de fenómenos físicos en múltiples campos. Posteriormente, se realiza una descripción unidimensional del método SUPG y se desarrolla la metodología para implementar la técnica en dos o tres dimensiones. Se presentan los resultados de un experimento numérico fuertemente advéctico y de elevada complejidad desde el punto de vista numérico. Los resultados muestran cómo la versión de la técnica SUPG imple- mentada permite aproximaciones estabilizadas en el espacio, aun para altos números de Peclet.

Introducción

La ecuación diferencial de difusión-advección-reacción (EDDAR) (1) es empleada para el modelado de múltiples fenómenos físicos, en áreas como la acústica (Babuska et ál., 1995), el electromagnetismo (Rieben et ál., 2007), la dinámica de fluidos (Zienkiewicz et ál., 2000), así como también para el estudio de problemas financieros a través de la solución de la ecuación de Black-Scholes (Smith, 2000), de problemas ambientales y de contaminación (Sanín et ál., 2007), poblacionales (Richter, 2008) y biológicos, destacándose en este último campo el modelado de los mecanismos de morfogénesis (Dan et ál., 2005).

Aunque el método de los elementos finitos, bajo la formulación de Galerkin, es una técnica usada extensivamente para la solución de muchos problemas de ingeniería, especialmente dentro de la mecánica estructural de sólidos, resulta poco adecuado, en términos generales, para la solución de la ecuación (1). El uso de la formulación estándar de Bubnov-Galerkin para la solución de problemas predominantemente convectivos, lleva a respuestas marcadas por fuertes oscilaciones alrededor de la solución exacta (Zienkiewicz et ál., 2000), especialmente en las zonas aguas abajo con fuertes variaciones  en  el  campo  escalarφ(x). Estas  oscilaciones,  denominadas  normalmente  wiggles (Brooks et  ál.,  1982),  aparecen  por  la  característica asimétrica de la matriz de rigidez (K) del problema, la cual es originada por la naturaleza no autoadjunta del operador diferencial  convectivo.  Resulta  claro  entonces  que  entre  más  predominante sea la componente convectiva sobre la difusiva, mayo-res la asimetría en la matriz [K] y por tanto más grandes las falsas oscilaciones dentro de la aproximación aguas abajo.

Con el fin de eliminar dichas oscilaciones espurias se han desarrollados diversas técnicas de estabilización, entre las cuales se puede mencionar el método Petrov-Galerkin de contracorriente (Streamline Upwind Petrov-Galerkinm SUPG; Zienkiewicz et ál., 1975), el método  de  las  líneas  de  características  (Zienkiewicz  et  ál.,  1984),  el  método  de  mínimos  cuadrados  de  Galerkin  (Hughes,  1988),  el  método de cálculo finito (Oñate , 1998)  y el método de paso fraccional θ (Chrispell, 2007), entre otros.