Descomposición en suma de cuadrados: teoría y aplicaciones en control

Sum of squares decomposition: controltheory and applications

Las técnicas de descomposición en sumas de cuadrados (SOS) permiten emplear métodos numéricos para probar la positividad de funciones polinómicas multivariables resolviendo problemas de programación en semidefinida. Teniendo en cuenta que generalmente es difícil encontrar funciones de Lyapunov para realizar análisis de estabilidad en sistemas no lineales, con el uso de técnicas SOS se utiliza una herramienta computacional para resolver este problema, planteando las condiciones de estabilidad como un problema SOS y obteniendo la solución con un toolbox de Matlab. Para mostrar el uso de esta herramienta se presentan ejemplos simples de los conceptos de SOS, análisis de estabilidad para sistemas no lineales polinomios, racionales, con incertidumbre en los parámetros y de sistemas conmutados con una aproximación en polinomio. Con dicha aproximación se encuentran funciones adecuadas para demostrar estabilidad asintótica para estos sistemas.

Introducción

La teoría sobre la descomposición de funciones polinomiales en su-mas de cuadrados (SOS) ha tenido un desarrollo importante en los últimos diez años desde su introducción en Parrilo (2000). Este impulso se debe principalmente a la posibilidad de realizar relajaciones de problemas considerados NP-hard (e. g., la evaluación de la no negatividad de polinomios multivariables) (Papadimitriou, 1994), a problemas solucionables computacionalmente en tiempo polinomial. El problema consiste básicamente en encontrar condiciones para verificar la validez de la proposición. Para considerar el estudio algorítmico de este problema es evidente la necesidad de delimitar la estructura de las posibles funciones F, y al mismo tiempo hacer el problema lo suficientemente general para garantizar la aplicabilidad de los resultados. Un buen compromiso es alcanzado restringiendo la clase de F a funciones polinomiales (Parrilo, 2000).

Es posible mostrar que el problema general de probar positividad global de una función en polinomial es también de hecho NP-hard (cuando el grado es al menos cuatro). Así que, cualquier método para garantizar la solución del problema en cada caso posible tendrá un comportamiento inaceptable en tiempo computacional para una función con un número de variables elevado. Ésta es la principal desventaja de las metodologías teóricas tales como eliminación de cuantificadores (Parrilo, 2000).

Si se desean evitar los problemas de complejidad inherentes relacionados con la solución exacta, surge la siguiente cuestión: ¿hay algunas condiciones, que puedan ser probadas en tiempo polinomial para garantizar positividad global de una función? Como se verá en la siguiente sección, tal condición está dada por la existencia de una descomposición en suma de cuadrados.