Frecuencias propias de vigas Euler-Bernoulli no uniformes
Non-uniform Euler-Bernoulli beams natural frequencies
Este documento es un artículo preparado por Hugo Aya B., Ricardo Cano M. y Petr Zhevandrov B. Artículo publicado en la Revista Ingeniería e Investigación de la Universidad Nacional de Colombia.
Frecuencias propias de vigas Euler-Bernoulli no uniformes
Non-uniform Euler-Bernoulli beams natural frequencies
En el presente trabajo se estudia el problema de frecuencias propias de la viga Euler-Bernoulli de sección no uniforme; se comparan las soluciones del problema obtenidas numéricamente con la solución asintótica lograda mediante el método Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB). Se establece que la precisión de las fórmulas WKB es mayor del 3% para frecuencias altas (número de modo ≥ 4).
Introducción
Vibraciones de vigas no uniformes han sido estudiadas desde el siglo XIX (ver, p. ej., Todhunter, 1893, §1302, sobre las investigaciones de Kirchhoff). Estudios relativamente recientes se pueden ver en Abrate (1995) y en Hsu-Lai-Chen (2008), donde se pueden encontrar referencias y un repaso de resultados. En Abrate (1995) se obtienen las frecuencias propias de vigas EulerBernoulli (EB) en el caso especial de coeficientes para los cuales las soluciones de la ecuación EB se expresa en términos de funciones elementales.
Para la ecuación de barra no uniforme (problema de SturmLiouville) con parámetros como densidad o sección transversal arbitrarios, cuando la ecuación no se integra ni siquiera en funciones especiales, se usa el método Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB), también conocido en la literatura como la aproximación de Liouville-Green (Akulenko-Nesterov, 2005; GeistMcLaughlin, 2001), para encontrar la asintótica de las frecuencias altas. Este método consiste en la obtención de series asintóticas en potencias del pequeño parámetro del problema. No encontramos aplicaciones de esta técnica a la ecuación EB, que es del orden 4 (en contraste con la ecuación de vibraciones de barras, que es del segundo orden), a pesar de que el método WKB está desarrollado para ecuaciones del orden n (Fedoryuk, 1993).
En el presente artículo presentamos los resultados de dicha aplicación. Resulta que el método WKB proporciona resultados que coinciden con los resultados numéricos con el error de menos del 3% inclusive para los números de modos igual a 4, y este error sigue disminuyendo para los modos más altos.
Solución asintótica para una viga no uniforme
Las vibraciones transversales de una viga no uniforme en la aproximación Euler-Bernoulli las describen Tijonov-Samarsky, (1972):
Este documento es un artículo preparado por Hugo Aya B., Ricardo Cano M. y Petr Zhevandrov B. Artículo publicado en la Revista Ingeniería e Investigación de la Universidad Nacional de Colombia, la cual es un medio reconocido de divulgación y difusión de los trabajos científicos producidos en Colombia y el mundo, sobre investigaciones científicas y desarrollos tecnológicos originales e inéditos en las diferentes disciplinas relacionadas con la ingeniería que contribuyen al desarrollo de conocimiento, generando impacto mundial en la academia, la industria y la sociedad en general, mediante un intercambio de saberes y opiniones, con seriedad y calidad reconocida por estándares internacionales. Correo de contacto: [email protected]
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