Algoritmo de aproximaciones estocásticas para la optimización de procesos industriales

Stochastic approximation algorithm for industrial process optimisation

Los algoritmos de aproximaciones estocásticas son métodos alternativos de búsqueda lineal para optimizar o controlar sistemas donde la relación funcional entre la variable de respuesta y los factores controlables de un proceso y su modelo analítico son desconocidos. En estos algoritmos no existe un criterio en la selección de sus medidas de sucesión que garanticen la convergencia, lo cual puede llevar a que al implementarlos en la práctica diverjan, con el consecuente desperdicio de recursos. El objetivo de la investigación es determinar las condiciones óptimas de operación de procesos industriales mediante un algoritmo de aproximaciones estocásticas modificado, donde sus medidas de sucesión son validadas al obtener valores de la variable de respuesta de cada iteración mediante simulación. El algoritmo es presentado en nueve etapas. En sus primeras seis se describen cuáles son las variables independientes y dependientes del proceso, se selecciona la clase del diseño experimental, se asignan y desarrollan los experimentos y se obtienen los modelos de segundo orden; en las últimas tres etapas se desarrolla el algoritmo y se obtienen los valores óptimos de las variables independientes. El algoritmo se validó en tres procesos industriales, demostrándose que es eficiente para determinar las condiciones óptimas de operación de las variables independientes (temperatura y tiempo); en el proceso 1 se obtienen en las primeras tres iteraciones en 66 °C y 3 h 42 min, a diferencia de los procesos 2 y 3, que se obtienen en la primera iteración con 66 °C y 6 h 06 min y 80 ° C y 5 h 06 min, respectivamente.

Introducción

El método de aproximaciones estocásticas presentado por Robbins y Monro (1951) es un método de búsqueda lineal de la raíz de la función desconocida ^f(^{f: ℜ → ℜ}) que representa al valor esperado de una variable aleatoria. Kiefer y Wolfowitz (1952) lo modifican para que pueda ser usado en la determinación del óptimo de ^f. Blum  (1954)  extiende  los  resultados de los autores anteriores a espacios cartesianos de dimensión mayor que 1.

A partir del trabajo presentado por Blum (1954) se da un incremento en la cantidad de métodos de aproximaciones estocásticas (Kushner y Clark, 1978; Polyak, 1991; Polyak y Juditsky, 1992; Andradóttir, 1995 (i, ii); Delyon, 1996; Kulkarni y Horn, 1996; Maeda, 1996). Pero Andradóttir (1996) asegura que todos estos métodos son procedimientos sin un criterio teórico de terminación,   usados  para  determinar ^X*  en  ^ℜ d   , de  tal forma que ^h(X*)=0 , donde  ^{h: ℜ d → ℜd} es la función que corresponde al vector gradiente de la función ^f , de la cual se desconoce su expresión analítica, pero es posible cuantificar su valor para una combinación específica  de  valores  o  niveles  de los factores controlables, medición que está sujeta a un error experimental del que no se establece ningún supuesto en cuanto   a su distribución de probabilidad.