Modelos de la Familia Exponencial

Exponential Family Models

Muchas de las distribuciones utilizadas en las estadísticas hacen par-te de la familia exponencial, dando a entender con ello, una ventaja considerable con respecto a otros modelos que en sí no pertenecen a esta familia, ventaja que se declara en forma significativa cuando se  trata  de  calcular  el  estadístico  Ͳ(X) de  una  muestra  aleatoria X_1, X₂,...,X_n.  Entre  los  modelos  que  pertenecen  a  la  familia  exponencial  tenemos  la  distribución  de  Poisson,  Binomial,  Normal,  Gamma, Beta, entre otras, esto evidencia la importancia de la familia exponencial en la teoría estadística moderna.

1. INTRODUCCIÓN 

Muchas de las distribuciones utilizadas en la estadística [1] hacen parte de una gran familia llamada familia exponencial, implicando con ello, una ventaja sustancial con respecto a otros modelos que no pertenezcan a esta familia, ventaja que se manifiesta en forma significativa cuando se trata de calcular el estadístico $T(x)$ de una muestra aleatoria $X_1,X_2,...,X_n$.

Entre los modelos que pertenecen a la familia exponencial tenemos la distribución Poisson, Binomial, Normal, Gamma, Beta, entre otras [2], esto da evidencia de la importancia de la familia exponencial en la teoría estadística moderna [3].

2. DISTRIBUCIONES QUE PERTENECEN A LA FAMILIA EXPONENCIAL

Según [4], la familia de la distribución exponencial son modelos estadísticos de la forma $\rho =\{p\theta :\theta \in \Theta \}$.

Se denomina familia exponencial de un parámetro, si existen funciones de valor real $c(\theta ),d(\theta ),\theta \in \Theta$, funciones de valor real T y S definidos en Rⁿ y un conjunto G ⊆ Rⁿ que no depende de θ, de tal forma que la función de densidad o de probabilidad ​$p(x,\theta )$ puede ser discreta de la siguiente forma:

$p(x,\theta )=\exp \{c(\theta )T(x)+d(\theta )+sx\}X{I}_G(x)$   (1)​

Donde I_G (﹒) es una función indicadora de G.

​$I_G(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }x\le 0\\ 0& enotrocaso\end{array}$

En la familia exponencial

$T(x)$

es un estadístico suficiente y completo. La suficiencia [5] de la estadística

$T(x)$

con recorrido $I(=R_T)$ para $\theta$ , se da si y solo si existe una función $g(t,\theta ),t\in \text{I},\theta \in \Theta$ y una función $h(x),x\in R^n$ ,tales que normalmente se toman como, 

$p(x\theta )=g(T(x),\theta )Xh(x)$

para toda $widetilde{x} ∈ R^n ext{y} widetilde{θ} ∈Θ$​​