El Surgimiento de las Geometrías no Euclidianas y su Influencia en la Cosmología y en la Filosofía de la Matemática

The Emergence of non-Euclidean Geometries and Their Influence on Cosmology and Philosophy of Mathematics

En este artículo se describe el nacimiento en el siglo XIX de las geometrías no euclidianas y el impacto que al doblar el siglo esta revolución matemática tuvo en la reflexión metacientífica sistemática y, particularmente, en la filosofía de la matemática, generando, desde una concepción formalista, un nuevo territorio teórico denominado Metamatemática. Asimismo se muestra la influencia en la cosmología y la lógica-matemática.

Protagonistas de esta historia: Eudoxo, Euclides, Saccheri, Kant, Lobachevsky, Bolyai, Gauss, Riemann, Beltrami, Klein, Poincaré, Frege, Peano, Hilbert, Russell, Whitehead, Minkowski, Einstein, Wittgenstein, Carnap, Gödel.

1. LOS PRECEDENTES

En los tiempos de Kant había dos teorías que representaban el summun de la ciencia y que fueron para él referentes fundamentales: la mecánica de Newton y la Geometría de Euclides. La primera era todavía una novedad en pleno proceso de desarrollo, pero la geometría euclidiana tenía más de dos milenios (gracias a los árabes que la conservaron pues apenas fue traducida al latín en 1482) y se encontraba más allá de toda duda, representando la esencia misma de la racionalidad. Thomas Hobbes llegó a decir incluso que “La geometría de Euclides es la única ciencia que Dios le ha concedido al hombre”. Hasta la propia teoría de Newton estaba soportada en la antigua Geometría del genio griego. Esta solidez absoluta se refleja, por ejemplo, en las categorías a priori kantianas.

En 13 volúmenes con el nombre de Elementos, Euclides reunió el saber geométrico de su época (finales del siglo IV a.C. e inicios del III a.C.), desarrollando la obra de los grandes matemáticos griegos, como por ejemplo el compañero de Aristóteles, Eudoxo de Cnido (hoy Turquía) e incluyendo sus propias aportaciones, exponiéndolas con un impecable método axiomático-deductivo, que fue su gran legado. Spinoza, por ejemplo, expuso su Ética al modo geométrico como criterio de rigurosidad.

Posiblemente ese provinciano universal llamado Inmanuel Kant no conoció nunca a Gerolamo Saccheri, un jesuita italiano nacido en 1667 que inventó, sin saberlo, una geometría diferente a la de Euclides. Pocos años después de la muerte de Newton, en 1733, cuando Kant era apenas un niño de nueve años, Saccheri llegaba al final de su vida publicando en Milán un libro asombroso, que sin embargo no trascendería, y cuyo título era Euclides ab Omni Naevo Vindicatus, lo que traducido libremente significa: Euclides libre de todo defecto.

Como indica el título, el objetivo de Saccheri era todo lo contrario de lo que logró, esto es, se proponía fortalecer la geometría euclidiana tratando de reducir al absurdo las posibilidades de desarrollos geométricos alternativos. Y efectivamente sus resultados fueron tan extraños que él los consideró absurdos, pero en el sentido coloquial del término.