Maxwell equations for a generalised lagrangian functional

Ecuaciones de maxwell para una funcional de lagrange generalizada

En este trabajo se aborda el problema de la construcción de la funcional de Lagrange de un campo electromagnético. Se introducen las ecuaciones generalizadas de Maxwell de un campo electromagnético en el espacio libre. La idea principal se basa en el cambio de función de Lagrange en virtud de la acción integral. Por lo general, la funcional de Lagrange, que describe el campo electromagnético, se construye con el cuadrado del tensor de campo electromagnético. Ese término cuadrático es la razón, desde un punto de vista matemático, de la forma lineal de las ecuaciones de Maxwell en el espaciolibre. Se obtienen las ecuaciones no lineales de Maxwell sin considerar esta suposición. Las ecuaciones obtenidas son bastante similares a las conocidas ecuaciones de Maxwell. Se analiza el tensor de energía del campo electromagnético en un enfoque quiral de la Lagrangiana de Born Infeld en relación con la constante cosmológica.

INTRODUCCIÓN

La integral de acción (construida para formular el principio de mínimos cuadrados [1]) para un proceso en un campo electromagnético tiene la siguiente forma:

​$I=\genfrac{}{}{0ex}{}{\int }{ᵀ}\genfrac{}{}{0ex}{}{\int }{ⱽ}((S_v)-(\rho V-j\cdot A)-\frac{1}{2}({\mu }_0^{-1}{B}^2-{\epsilon }_0{E}^2))dVdt$   (1)

Todos los fenómenos físicos en el campo electromagnético tienen lugar de manera que la integral de acción tiene el valor mínimo δI=0. La teoría del campo electromagnético [1] conduce a las ecuaciones de movimiento de Lagrange para una carga eléctrica en el campo electromagnético y denota el tensor del campo electromagnético:

​$F_{ik}=\frac{\partial A_k}{\partial x^i}-\frac{\partial A_i}{\partial x^k}$   (2)

Las ecuaciones (2) son equivalentes al primer par de ecuaciones de Maxwell:

​$\frac{\partial F_{ik}}{\partial x^1}+\frac{\partial F_{kl}}{\partial x^i}+\frac{\partial F_{li}}{\partial x^k}=0$     para    $i\ne k\ne l\ne i$    (3)

O, en notación tridimensional:

​$\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{l}\mathbf{E}=-\mathbf{B}$  y   $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathbf{B}=0$   (4)

Haciendo cálculos de variación para el funcional I con respecto al potencial cuatridimensional Aⁱ se obtiene el segundo par de ecuaciones de Maxwell:

​$frac{∂F^{ik}}{∂x^k} = - μ_0j^i$    (5)