Solución computacional de modelos biológicos de formación de patrones espacio-temporales

Computational solution of biological models of spatial-temporal pattern formation

Diversos modelos matemáticos han sido utilizados para describir patrones espaciales y temporales presentes en la naturaleza,como la pigmentación de la piel de algunos peces y las rayas del tigre. Estos modelos matemáticos pueden ser implementados mediante diversas técnicas numéricas entre las que se destacan el método de diferencias finitas, los elementos finitos y los métodos espectrales. En este artículo se describe un método de implementación por elementos finitos de dos modelos de morfogénesis, un modelo de formación de patrones y un modelo de movimiento celular. Los resultados obtenidos soncomparables con los reportados en otros trabajos usando el método de las diferencias finitas. Se concluye que la técnica utilizada es válida para implementar este tipo de problemas y se espera sea de utilidad en la formulación e implementación de modelos matemáticos biológicos complejos de crecimiento y desarrollo celular y tisular.

INTRODUCCIÓN

La aplicación del modelamiento matemático a problemas de biología del desarrollo ha dado lugar a la formulación de una variedad de modelos que describen fenómenosde formación de patrones espacio-temporales [1]. Una clasificación de estos patrones desde el punto de vista biológico da lugar a dos categorías: patrones químicos y patrones de movimiento celular [2]. A su vez, en la categoría de patrones químicos existen dos tipos de modelos: modelos de gradiente y modelos de reacción-difusión.

Los modelos químicos de gradiente son aquellos que generan patrones a partir de sustancias químicas que experimentan diferencias de concentración y que durante su evolución temporal tienden a un estado uniforme en el espacio y en el tiempo. En los modelos de reaccióndifusión, las interacciones químicas generan patrones complejos en el espacio y/o el tiempo, debido a que se encuentran términos de transporte, síntesis y degradación que dependen de todas las sustancias químicas presentes en el dominio de análisis [2]. Por su parte, los modelos de movimiento celular involucran la formación de patrones debido a cambios de densidad celular, por agregación o repulsión entre las células, o por respuesta a sustancias químicas concretas [3].

Turing [5] en 1952 propuso el primer modelo de morfogénesis en el cual supone la existencia de cierto número de químicos, denominados morfogenes, que difunden e interactúan en un medio de células del mismo linaje. Demostró que un sistema de reacción-difusión con estas características, definido por un dominio espacial cerrado y extenso, y bajo los parámetros apropiados, evoluciona en un patrón espacial heterogéneo debido a pequeñas perturbaciones de las concentraciones químicas, fenómeno conocido como inestabilidad por difusión [4, 6].