Determinación de eventos de diseño de funciones bivariadas usando el método de bisección

Getting design events of bivariate functions bymeans of the bisection method

En este artículo se presenta la determinación de parejas de valores de caudal y de volumen correspondientesa distintos periodos de retorno para la estación hidrométrica Huites, Sinaloa, México, usando métodosdeterminísticos cerrados y abiertos de búsqueda de raíces; tal es el caso del algoritmo numérico debisección y el método de la secante, respectivamente; la función de distribución bivariada de las variablesanalizadas fue una Gumbel de dos poblaciones cuyos parámetros fueron obtenidos en una investigaciónprevia usando un algoritmo genético. El algoritmo de bisección fue el más eficiente en la estimación devolúmenes, resultando en una herramienta útil y práctica que permitió la estimación de los eventos dediseño con relativa sencillez y es susceptible de ser empleado en funciones que incluyen variables aleatorias.

INTRODUCCIÓN

El análisis de eventos extremos para determinar eventos de diseño, correspondientes a una obra hidráulica, ha sido motivo de diversas investigaciones en las que [1-2]; muchas veces se debe considerar la dependencia entre los caudales y los volúmenes que históricamente se han presentado en el sitio analizado. A veces es necesario analizar no sólo por separado a las variables, a través de sus funciones de distribución marginal, sino también hay que analizarlas en forma conjunta, considerando una función de distribución bivariada. La determinación de los parámetros de dicha función es un problema que ha sido abordado por distintos autores usando diversos métodos de optimización como son el algoritmo de Rosenbrock, los métodos del tipo Newton Raphson o regresiones por mínimos cuadrados [3-13]. Una vez que los parámetros se han determinado, el siguiente problema es la obtención de los eventos de diseño para posteriormente construir el hidrograma de diseño. Debido a la naturaleza aleatoria de las variables y a la definición del periodo de retorno conjunto existe toda una familia de parejas de valores de caudal y de volumen que satisfacen al periodo de retorno correspondiente a la obra y finalmente la selección del mejor valor dependerá del tipo de estructura hidráulica que se esté analizando.

La representación analítica de las funciones de distribución bivariadas es elaborada y ello trae consigo que el problema de la búsqueda de soluciones (en este caso parejas de valores gasto, volumen, dado una probabilidad de no excedencia) es un problema que requiere de la aplicación de algoritmos numéricos eficientes En este trabajo se aplicaron dos algoritmos numéricos de búsqueda tradicional de raíces como herramienta para determinar los valores de caudal y de volumen correspondientes a eventos de diseño: dichos métodos fueron el de bisección tradicional, que es de tipo cerrado, es decir, que maneja un intervalo de búsqueda, y el método de la secante que es de tipo abierto y que no requiere necesariamente de contar con un intervalo que encierre a la raíz buscada [14].