The fast multipole boundary element method performance evaluation for topological optimization procedure

Evaluación del desempeño del método de elementos de contorno multipolar rápido para procedimiento de optimización topológica

El objetivo de este trabajo es evaluar el rendimiento de un Método de elementos de contorno (BEM) acelerado por el Método Multipolar Rápido (FMM), en comparación con un BEM directo en un problema de optimización de topología. La formulación del Método de elementos de contorno multipolar rápido (FMBEM) se introduce con el fin de hacer que el proceso de optimización sea más atractivo desde el punto de vista del coste computacional. La formulación del método multipolar rápido se resume brevemente. Un enfoque al respecto de la sensibilidad topológica-forma es empleado para seleccionar los puntos que muestran las sensibilidades más bajas, a la cual se le retirará material mediante la apertura de una cavidad en el mismo. A medida que el proceso iterativo evoluciona, el dominio original tiene agujeros eliminadas progresivamente, hasta que se alcanza un criterio determinado de parada. Para la comparación, se utiliza la topología resultante de un proceso de optimización directa BEM. El tiempo de CPU x GDL también es investigado. El BEM acelerado muestra un buen rendimiento en una rutina de optimización.

INTRODUCCIÓN

Aunque el método de los elementos límite (BEM) proporciona algunas ventajas a la hora de modelar muchos problemas, su eficiencia no es adecuada para los modelos a gran escala. El BEM, en general, produce matrices densas y no simétricas que, a pesar de ser de menor tamaño, requieren O(N²) operaciones para calcular los coeficientes (N es el número de ecuaciones del sistema lineal y O se refiere a la operación). Para resolver el sistema resultante utilizando solucionadores directos, también se requieren otras operaciones O(N³). Para superar esta ineficiencia se propone un acoplamiento entre el método multipolar rápido y el BEM. Esto permitirá resolver problemas con varios millones de grados de libertad (DOF`s). Generalmente, el Método de los Elementos Finitos (MEF) está indicado para resolver modelos con varios millones de DOF`s. Por otro lado, el BEM ha estado limitado para resolver problemas con unos pocos miles de DOF`s durante muchos años. En los últimos años, se han realizado grandes esfuerzos para mejorar el coste computacional del BEM, manteniendo sus características, como la facilidad de modelado, las matrices pequeñas y la no dependencia de la malla. El BEM puede aplicarse ahora a problemas de gran escala, como el problema de optimización de la topología. Como este tipo de problema es iterativo, el número de elementos aumenta a medida que se elimina el material y, por tanto, se introduce un número significativo de DOF. El coste computacional es un problema grave, especialmente cuando el caso investigado es un problema 3D. Durante las últimas décadas, se han realizado muchos esfuerzos para acelerar el BEM para problemas a gran escala. El FMM fue presentado por primera vez por [1, 2] con el objetivo de acelerar las soluciones BEM. El objetivo principal era reducir el tiempo de CPU en el BEM acelerado por FMM a O(N). Posteriormente, esta técnica se aplicó para resolver problemas de elasticidad [3] y de fluidos [4] a gran escala.