Water hammer analysis using an implicit finite-difference method

Análisis del golpe de ariete usando un método de diferencias finitas implícito

Se presenta un Método de Diferencias Finitas Implícito (MDFI) para la solución del golpe de ariete en redes de tuberías. Se muestran en detalle todas las ecuaciones necesarias para calcular el caudal y presión en cada nodo de la red (interno y de borde), y cuyo acoplamiento tramo-a-tramo, mediante la ecuación de Karney, permite obtener un sistema de ecuaciones (por cada tramo) de fácil resolución aplicando el algoritmo de Thomas. Se muestran, además, expresiones originales desarrolladas por el autor válidas para modelar, en forma de diferencias finitas: (1) el término friccional de la ecuación de la dinámica RQ_P|Q|, (2) el factor de fricción transiente propuesto por Brunone-Vítkovský y, (3) los elementos de reemplazo de tuberías cortas que permiten incrementar la magnitud del paso de tiempo computacional. Se demuestra que la metodología propuesta permite modelar el flujo transitorio con mayor nivel de estabilidad y precisión numérica en comparación con el Método de las Características (MC), especialmente cuando el número Courant (Cn) es menor que 1. Sin embargo, debido a que el MDFI trabaja con coeficientes de ponderación (θ₁ y θ₂) que deben adoptar valores generalmente cercanos a 0,5 dependiendo del problema analizado, la obtención de una solución cercana a la exacta requiere analizar cada caso por separado, siendo obligatorio un procedimiento de ensayo y error que puede hacer que el análisis se torne lento y engorroso.

INTRODUCCIÓN

Existe poca literatura que trate de la simulación del golpe de ariete utilizando métodos de diferencias finitas de tipo implícito, donde la solución de las ecuaciones básicas del flujo transitorio requiere resolver un sistema de ecuaciones. Esto puede deberse a dos razones: la implementación del IFDM tiene un cierto nivel de complejidad porque es necesario resolver un conjunto acoplado de ecuaciones (lineales o no lineales). Las condiciones de contorno en el contexto del IFDM son difíciles de manejar porque requiere añadir puntos de malla ficticios situados más allá de los límites de la tubería, siendo además necesario establecer sistemas de ecuaciones adicionales que permitan resolver el flujo y la presión en cada nodo límite de la red. En general, IFDM es incondicionalmente estable y se utiliza para resolver el flujo transitorio en aquellos casos en los que es necesario adoptar pasos de tiempo mayores (Δt) sin tener en cuenta las limitaciones dadas por el número de Courant (Cn). Sin embargo, el IFDM no está exento de dispersión y atenuación numérica incluso cuando el flujo transitorio se resuelve en una red de tuberías muy simple (6). Otros autores (28) propusieron resolver las ecuaciones del golpe de ariete en un sistema de red utilizando el método de las diferencias implícitas centradas para permitir grandes pasos de tiempo, donde las ecuaciones de diferencias no lineales resultantes se organizan en una matriz dispersa y se resuelven utilizando el procedimiento de Newton-Raphson.