Cálculando geodésicas: Un enfoque computacional sobre el elipsoide

Calculating Geodesics: A Computational Approach to the Ellipsoid

El artículo es producto de la investigación “Conexiones sobre Geometría Semi-Riemanniana y Coeficientes de Christoffel – Hacia el estudio del cálculo computacional de geodésicas”, desarrollada en la Institución Universitaria Pascual Bravo en el año 2021. Basado en soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange, es posible el cálculo explícito de geodésicas en ciertas variedades. Sin embargo, hay varios casos en los que es imposible seguir calculando analíticamente y tenemos que recurrir a un cálculo numérico. En este sentido, surgen inesperadamente varias características geométricas y dinámicas de las geodésicas. El objetivo de la investigación es calcular geodésicas de una variedad riemanniana o semirriemanniana utilizando como software SageMath para ir más fácilmente más allá de lo que proporciona la intuición. Primero, se presentan algunos ejemplos simples de caracterizaciones de geodésicas en ciertas variedades, basados ​​en soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange. Luego, se selecciona un elipsoide como sujeto de prueba con el que calcular numéricamente las geodésicas, observando cómo cambia dependiendo de si se define dentro de un sistema de coordenadas Esférico, Triaxial o Mercator. Con la flexibilidad de un software como SageMath, se posibilitó la expresión explícita de las ecuaciones diferenciales y, a partir de las soluciones numéricas de estas ecuaciones, sus correspondientes simulaciones en función de los parámetros seleccionados. Estas simulaciones confirman que los grandes círculos no son las únicas geodésicas existentes en el elipsoide, sino que existen muchos otros tipos de curvas geodésicas, algunas de las cuales pueden ser curvas densas en la superficie y otras pueden ser curvas cerradas. Al mismo tiempo, esto muestra una relación entre la existencia de ciertos tipos de curvas geodésicas y la parametrización de la superficie.

1. INTRODUCCIÓN

rnard Riemann, en la Universidad de Göttingen en 1854, llevó a cabo la famosa conferencia Sobre las hipótesis en que se basa la geometría; con el objetivo de definir un modelo apropiado del universo. En ella repasaría, con las herramientas matemáticas de la época, conceptos y relaciones de variedades extendidas, vectores tangentes, espacio tangente, métricas, tensores de curvatura, curvatura seccional; todo ello dirigido a aplicaciones en el espacio. Éstos guiarían los resultados obtenidos en el siglo siguiente por Ricci, Myers, Cartan o Nash, pero también sustentarían la Teoría General de la Relatividad de Einstein, y anticiparían la esencia de la Mecánica Cuántica: la intuición de que para manejar pequeñas distancias es necesario trabajar con cantidades discretas (condición favorable para las implementaciones computacionales o simulaciones).