Álgebra óptima y soluciones invariantes para la ecuación de Chazy

Optimal Algebra and Invariant Solutions for Chazy’s Equation

Se caracterizan las soluciones invariantes para la ecuación de Chazy a partir de los operadores generadores del álgebra óptima, la cual fue obtenida mediante el grupo de simetrías de Lie correspondiente a dicha ecuación.

1 INTRODUCCIÓN

La aplicación de la teoría de grupos de simetrías de Lie a una ecuación diferencial es una poderosa herramienta para el estudio de la ecuación, desdeque fue introducida en el siglo XIX por Sophus Lie [1] usando una idea de la teoría de Galois en álgebra. Inicialmente se pretendió, con resultado fallido, aplicar la teoría para encontrar un método único que permitiera resolver todas las ecuaciones diferenciales ordinarias. En el siglo XX se encontró la potencia de esta teoría al aplicarla en ecuaciones en derivadas parciales y por tanto, la aplicación de la teoría ha sido de gran interés entre investigadores de diferentes campos de las ciencias como las matemáticas y la física. La aplicación del método a una ecuación diferencial lleva a construir, por ejemplo, leyes de conservación utilizando el conocido teorema de Noether [2] y soluciones invariantes de la ecuación utilizando el enfoque de Ibragimov [3], lo cual muchas veces presenta ventajas frente a otros métodos. Hoy día, existe una gran diversidad de aplicaciones, por ejemplo en procesamiento de imagénes, estudio de fluidos, burbujas e interacción de sistemas, entre otras [4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11].

De otro lado, en1963, Rosenhead [12] presentó la ecuación de capa límite de Prandtl para un fluido bidimensional y radial, con velocidad principal de corriente uniforme dada por

​$\nu u_{yyy}=u_y{u}_{xy}-u_x{u}_{yy},$     (1)

donde ν es un número real que representa la viscosidad cinemática. Olver en [13], usando el método clásico de Lie de transformaciones infinitesimales, consigue la transformación

​$u(x,y)=x^{1-\alpha }g(\omega ),\omega =\frac{y}{x^a},$     (2)

con g(ω) función real y al menos de clase C⁽³⁾. Sustituyendo (2) en (1), se tiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria no lineal de tercer orden:

​$\nu g_{\omega \omega \omega }+Dg{g}_{\omega }+A(g_{\omega }{)}^2=0,$     (3)

donde α es un real y D= 1−α es para la forma bidimensional, D= 2−α para la forma radial, y A= 2−α en ambos casos.

En [14],[15],[16],[17],[18],[19] se presentan soluciones de la ec.(3) para diversos valores de α usando múltiples métodos. En [13, 20, 21], mediante el método de simetrías de Lie, se logra una reducción de la ec.(3), para los casos cuando α=−1 (bidimensional) y α=−4 (forma radial). En [22],[23],[24],[25], Chazy y Olver muestran que el grupo de simetrías de Lie de la ec.(3) es una álgebra no soluble de dicha ecuación y consiguen reducciones. Posteriormente, tanto Nucci e Ibragimov [20], como Mahomed [26], presentan nuevas reducciones de la ec.(3), usando el método simetrías de Lie con variables semi-canónicas.

En el presente trabajo se considera la ecuación de Chazy [22],[23],[24],[25],[27], dada por

​$y_{xxx}= 2yy_{xx}−3y^2_x,$     (4)